Visite $\Bbb Q (\sqrt 2)$ y $\Bbb Q [\sqrt 2]$ significan lo mismo?

Question

Visite $\Bbb Q (\sqrt 2)$ y $\Bbb Q [\sqrt 2]$ significan lo mismo?

Intento referirme al campo de los números reales de la forma $a + b \sqrt 2$ donde $a$ y $b$ son racionales.

E: Lo siento, mi pregunta no estaba clara, estaba usando $\sqrt 2$ como número de ejemplo, pero por lo que leo en las respuestas, si elijo un número como $\pi$ entonces $\Bbb Q (\pi)$ y $\Bbb Q [\pi]$ sería diferente, ¿correcto?

Answer 1

Sí, son el mismo campo, aunque la notación $\Bbb{Q}(\sqrt{2})$ es preferible.

La razón es que si $a$ es un número o una variable y $F$ es un campo, entonces $F[a]$ denota el anillo de elementos polinómicos en $a$ . Estos son todos los elementos de la forma $$ \gamma_n a^n + \gamma_{n-1} a^{n-1} + \dotsb + \gamma_0 $$ con $n$ cualquier número entero distinto de cero y $\gamma_n,\dotsb,\gamma_0 \in F$ . Nótese que este anillo es siempre un dominio.

Por otra parte, la notación $F(a)$ denota el campo de fracciones de $F[a]$ y sus elementos son de la forma $$ \frac{f}{g} $$ con $f,g \in F[a]$ y $g \neq 0$ . Es el campo más pequeño que contiene $F[a]$ .

La cosa es que siempre que $a$ es algebraico sobre $F$ los dos son iguales. Esto se debe a que si $a$ es algebraico entonces es una raíz de un polinomio irreducible $\varphi \in F[X]$ . Puede comprobar que $$ F[X]/(\varphi) \simeq F[a] $$ y esto ya es un campo porque $\varphi$ irreducible implica que el ideal $(\varphi)$ es máxima.

Es un bonito ejercicio comprobar que los elementos de este campo son exactamente los polinomios en $a$ de grado como máximo $\deg(\varphi)-1$ . En particular, esta es la razón por la que $F(a)$ es un espacio vectorial de dimensión $\deg(\varphi)$ en $F$ siempre que $a$ es algebraico sobre $F$ .

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Tenga en cuenta que cuando $a$ es trascendente sobre $F$ entonces $F[a] \subsetneq F(a)$ . De hecho, en este caso $F[a]$ es isomorfo a $F[X]$ como un anillo, pero $X$ no es invertible en $F[X]$ .

Answer 2

Si tiene un anillo $B$ un subring $A\subseteq B$ y $b\in B$ entonces

$A[b]$ denota el menor subring de $B$ que contiene $A$ y $b$ .

Por otra parte, si $E$ es un campo, $F\subseteq E$ un subcampo y $e\in E$ entonces

$F(e)$ denota el menor subcampo de $E$ que contiene $A$ y $b$ .

La inclusión $\mathbb Q\subseteq\mathbb C$ es al mismo tiempo una inclusión de anillos y de campos, por lo que podemos considerar $\mathbb Q[\sqrt2]$ y $\mathbb Q(\sqrt2)$ . Es un hecho no trivial que estos dos subrings de $\mathbb C$ son iguales. Por otro lado, $\mathbb Q[\pi]$ y $\mathbb Q(\pi)$ son no igual.

En resumen, las dos notaciones significan cosas diferentes en general, que coinciden en su caso especial.

Answer 3

En principio $\Bbb Q [\sqrt 2]$ es el anillo de las expresiones del tipo $a + b \sqrt 2$ y $\Bbb Q (\sqrt 2)$ es el campo de fracciones de $\Bbb Q [\sqrt 2]$ que para nosotros significará simplemente fracciones de números de $\Bbb Q [\sqrt 2]$ es decir, fracciones como $\frac {a + b \sqrt 2} {c + d \sqrt 2}$ . Sorprendentemente, fracciones como ésta pueden reescribirse como

$$\frac {(a + b \sqrt 2) (c - d \sqrt 2)} {(c + d \sqrt 2) (c - d \sqrt 2)} = \frac {(ac - 2bd) + (bc - ad) \sqrt 2} {c^2 - 2 d^2} = \frac {ac - 2bd} {c^2 - 2 d^2} + \frac {bc - ad} {c^2 - 2 d^2} \sqrt 2 ,$$

que es precisamente de la forma $a' + b' \sqrt 2$ .

Esto demuestra que, de hecho $\Bbb Q (\sqrt 2) \subset \Bbb Q [\sqrt 2]$ y como trivialmente $\Bbb Q [\sqrt 2] \subset \Bbb Q (\sqrt 2)$ los dos coinciden.

Answer 4

Una estructura algebraica se especifica mediante dos componentes: a firma (una lista de funciones y predicados) y un lista de axiomas . Por ejemplo, una forma de definir un grupo es la siguiente:

1. Firma : multiplicación (una operación binaria), inversa (una operación unaria) y identidad (una constante). Los denotamos por concatenación, $^{-1}$ y $e$ respectivamente.
2. Axiomas : Los axiomas de grupo habituales: $\forall abc (a(bc) = (ab)c)$ ; $\forall a (aa^{-1} = a^{-1}a = e)$ ; $\forall a (ea=ae=e)$ .

En instancia de la estructura algebraica es un conjunto subyacente y una colección de funciones y predicados que coinciden con la firma y satisfacen los axiomas. Por ejemplo, el grupo $\mathbb{Z}_2$ (o más bien, una realización de la misma) tiene el conjunto subyacente $\{0,1\}$ la multiplicación se define por $0^2=1^2=0,01=10=1$ su inversa se define por $0^{-1}=0,1^{-1}=1$ y la identidad por $e = 0$ . Normalmente identificamos estructuras algebraicas hasta el isomorfismo.

En tu caso, $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ es un anillo mientras que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un campo . Esto significa que hay un desajuste de tipo cuando se pregunta si $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ . La gravedad de este desajuste de tipos depende de las definiciones exactas de anillo y campo y de lo formal que se quiera ser. He aquí dos opciones razonables:

1. Se puede definir un anillo como una estructura algebraica con suma, multiplicación, negación e identidades aditivas y multiplicativas, que satisface los axiomas del anillo. Para un campo, se añade recíproco a la firma y los axiomas de campo a la lista de axiomas. En este caso, los anillos y los campos tienen firmas diferentes.

2. Puede definir anillo como en la opción 1, y campo con la misma firma que anillo. Para enunciar los axiomas de campo, se define el recíproco como el elemento único $x^{-1}$ tal que $x^{-1}x=xx^{-1}=1$ si $x \neq 0$ y (digamos) $0^{-1}=0$ .

En la segunda opción, se puede argumentar que $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ es un anillo que satisface los axiomas adicionales para campos, por lo que puede considerarse un campo.

En la primera opción, técnicamente $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] \neq \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ya que tienen una firma diferente; sin embargo, hay una manera única de definir el recíproco de modo que la estructura resultante satisfaga los axiomas de campo, y una vez que lo haces, entonces de nuevo las estructuras se vuelven idénticas. Así que $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ puede "encasillarse" en un campo, y entonces se convierte en idéntico (o más bien, isomorfo) a $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ . Este encasillamiento es inofensivo, ya que para cada anillo existe como máximo una forma de verlo como campo, por lo que no surge ninguna ambigüedad.

Resumiendo, nuestras habituales convenciones chapuceras nos permiten considerar $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ como representación de la misma estructura. Sin embargo, si estamos siendo muy formales (por ejemplo, cuando se utiliza un asistente de pruebas), entonces podríamos tener que argumentar explícitamente que $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ satisface los axiomas de campo, o incluso para argumentar que el recíproco existe.

Answer 5

Sí, son iguales, pero es porque $\mathbb{Q}$ es un campo, y no son iguales si lo sustituyes por un anillo arbitrario, que no es un campo. En general, el corchete da el significado de "anillo más pequeño que contiene el elemento en el corchete y el anillo dado", mientras que la paréntesis significa "campo más pequeño que contiene el elemento en la paréntesis y el anillo dado". Por lo tanto, cuando el anillo dado es a su vez un campo, son básicamente iguales.