El esclarecimiento de los mapas en la teoría algebraica de números

Question

Deje $K$ ser una ecuación cuadrática número imaginario campo. Me pregunto por qué, algo que parece ser la norma (sin embargo, no significa de ninguna manera claro para mí) es natural de mapa:

$$\mathbf{Z}/\mathfrak{m} \cap \mathbf{Z} \longrightarrow \mathcal{O}_K/\mathfrak{m}$$

Qué sabemos de forma explícita lo que este mapa es? Yo soy más precisamente interesados en determinar si es o no un determinado elemento está en la imagen, pero me siento totalmente perdido. Es a menudo mencionado la siguiente secuencia exacta:

$$1 \to \mathbf{C}^\times \times \hat{\mathcal{O}}^\times \to \mathbf{A}(K)^\times/K^\times \to Cl(K) \to 1$$

Pero no veo la relación... ¿alguien tiene alguna idea o fuente? Será de gran ayuda!

Answer 1

Me gustaría pensar que es así.

Hay una natural incrustación $\mathbb Z\hookrightarrow\mathcal O_K$, y, por tanto, una proyección $$\mathbb Z\hookrightarrow\mathcal O_K\to\mathcal O_K/\mathfrak m.$$

El núcleo de este mapa es exactamente los elementos de $\mathfrak m$ que también están en $\mathbb Z$ - es decir,$\mathbb Z\cap\mathfrak m$. Se deduce que existe una inyección $$\mathbb Z/\mathbb Z\cap \mathfrak m\hookrightarrow\mathcal O_K/\mathfrak m.$$

En el caso de que $K$ es un imaginario cuadrática número de campo, estos dos campos son sólo el residuo de los campos de $\mathbb Z$ $\mathcal O_K$ con respecto al $\mathbb Z\cap \mathfrak m$ $\mathfrak m$ respectivamente. Por lo tanto, el mapa será surjective si y sólo si los dos residuos de los campos son iguales, lo que ocurre si y sólo si $\mathbb Z\cap\mathfrak m$ ramifies o se divide en $K$.

Answer 2

Esto es sólo un hecho general acerca de los módulos sobre anillos conmutativos. Tenga en cuenta que $\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}$ $\Bbb Z/\mathfrak{m}\cap\Bbb Z$ módulo--la acción es multiplicar por $n\in\Bbb Z$, y claramente es trivial en $\mathfrak{m}\cap\Bbb Z$, así que usted puede asignar el último en la antigua mirando a $\Bbb Z/\mathfrak{m}\cap\Bbb Z\cdot 1$, como cíclico $\Bbb Z/\mathfrak{m}\cap\Bbb Z$ submódulo de $\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}$.