Ejemplo de un par de manifiestos no coordinativos

Question

Hasta ahora, cualquier fuente que consulte habla gustosamente de clases de cobordismo de variedades orientadas cerradas (compactas y sin límites), pero todavía no he visto un ejemplo de un par de variedades que no sean cobordantes.

Por lo que sé, todos los pares de variedades orientadas cerradas de una o dos dimensiones son bordantes, por lo que este ejemplo sólo se daría en dimensiones 3 o superiores. La razón por la que pienso esto es que, dado que el toro y la esfera son bordantes, podemos simplemente "iterar" este cobordismo de forma adecuada y agotar todas las posibilidades por el teorema de clasificación de las superficies orientadas compactas.

Me preguntaba si alguien conoce un ejemplo de un par de colectores orientados cerrados no cobordantes que sea relativamente fácil de apreciar. Si es posible, sería preferible una construcción excplícita.

Answer 1

Puedes considerar algunas variantes de bordismo simples.

Si está pensando en orientado bordismo, entonces el primer ejemplo aparece al considerar los bordismos entre $4$ -manifoldos. La firma $\sigma(X^{4k})$ de un orientado $4k$ -manifold $X^{4k}$ es un invariante de bordismo orientado. Ahora $$\sigma(S^4) = 0$$ y $$\sigma(\Bbb C P^2) = 1,$$ así que $S^4$ y $\Bbb C P^2$ no están orientados de forma bordante. De hecho, $\Omega_4^{\mathrm{SO}} \cong \Bbb Z$ con generador $[\Bbb C P^2]$ .