¿Cómo ponerse al día?

Question

Estoy terminando mi licenciatura en matemáticas en la Universidad del Norte de Florida, y planeo ir a la escuela de posgrado, pero me siento muy atrasado. Uno de mis profesores nos dio este problema:

$\frac 1a + \frac 1b + \frac 1c \ge \frac 1 { \sqrt{bc}} + \frac 1 { \sqrt{ac}} + \frac 1 { \sqrt{ab}}$

Yo no tenía ni idea de cómo resolverlo, y él me dijo que estaba en su examen de acceso a su universidad en el Líbano. Nos enseñó cómo resolverlo utilizando la ecuación de la media geométrica, y después de eso era obvio, pero ¿por qué no se nos ocurrió inmediatamente?

Este es sólo un ejemplo de que me falta un problema que él consideraría elemental, y me pregunto a qué se debe. ¿Es el contenido y la forma de pensar tan diferente en otros países que en Estados Unidos? Realmente no nos molestamos con las pruebas o la lógica hasta la escuela de grado. Estoy bien con la comprensión de las pruebas, pero siento que me falta esta base de datos mental de conocimiento y experiencia que otros estudiantes tienen mucho antes de la licenciatura.

¿Existe un buen recurso para rellenar estos huecos? Quiero ser capaz de identificar estas similitudes y patrones comunes que me permitan resolver los problemas con facilidad, pero no estoy seguro de los conocimientos que me faltan.

Answer 1

Sabes que en realidad probablemente estarás bien. Resolver ejercicios es una habilidad que se desarrolla con el tiempo. Pero cuando llegues a la escuela de posgrado en matemáticas descubrirás que hay muy pocos estadounidenses en el programa. Y algunos otros países ponen muy poco énfasis en la resolución de ejercicios. Por ejemplo, en Italia están obsesionados con que recuerdes las pruebas de todos los teoremas estándar de cada asignatura. Pero rara vez recogen HW o asignan conjuntos de problemas. Se espera que los alumnos sepan la teoría al dedillo y obtengan buenas notas, aunque no sean tan buenos resolviendo ejercicios. Así que están tan asustados como tú cuando llegan aquí y se enteran de que tienen que ser capaces de resolver problemas así en frío. Así que no te subestimes, espera hasta que llegues a la escuela de posgrado y descubrirás que probablemente eres tan bueno como la mayoría de los demás en la resolución de problemas y siempre mejorarás en ello. No te castigues por no encontrar soluciones elegantes, la retrospectiva siempre es 20-20.

Answer 2

No creo que la mayoría de los estudiantes de secundaria de cualquier país piensen que es un problema fácil.

Sin embargo, hay diferencias entre Estados Unidos y otros países que explican en cierta medida por qué algo así puede figurar en un examen de acceso a la universidad en otros países:

• En algunos países hay corrientes de "élite" separadas para los estudiantes más capacitados. Este es el caso, sobre todo, de las universidades que tienen exámenes de acceso muy competitivos.

• Algunos países son más capaces que otros de atraer a personas competentes e inteligentes para enseñar en las escuelas primarias y secundarias. Esto está en parte relacionado con el estatus social de los profesores en la sociedad; en China, por poner un ejemplo extremo, encuestas han demostrado que el público considera que los profesores están al mismo nivel que los médicos en términos de estatus. Contrasta esto con la mayor parte de Europa y Estados Unidos, donde muchas escuelas tienen graves problemas de disciplina, en parte porque los alumnos (y sus padres) no respetan a los profesores.

• En relación con el último punto, los profesores de EE.UU., desde la escuela primaria hasta la secundaria, tienden a no tener los conocimientos necesarios para enseñar matemáticas de una manera que enfatice la justificación y la demostración en lugar de sólo los algoritmos. Esto se demuestra muy claramente en el estudio comparativo de Liping Ma sobre los profesores de matemáticas en Estados Unidos y en China, Conocer y enseñar las matemáticas elementales . Como resultado, a los estudiantes se les inculca la actitud de que las matemáticas son una colección de técnicas para resolver problemas rutinarios, y esto continúa hasta la universidad, perpetuando el ciclo en la siguiente generación de profesores. La forma en que se escriben los libros de texto estadounidenses tiende a exacerbar el problema, en todo caso.

En cuanto a tu pregunta sobre qué hacer ahora, la respuesta depende realmente de si estás más interesado en ponerte al día con este tipo de material de nivel secundario "de élite", o en hacer lo mismo con el material de nivel universitario. Teniendo en cuenta que vas a cursar estudios de posgrado, creo que esto último sería más prioritario.

Si tienes curiosidad por los problemas de nivel secundario, lo que recomendó Dave Renfro en sus comentarios parece una buena idea. También podrías echar un vistazo a Problemas de matemáticas elementales de Lidsky o Un libro de problemas de álgebra de Krechmar. (Eran clásicos para los estudiantes de secundaria que se preparaban para los exámenes de acceso a la universidad más duros de la Unión Soviética).

En cuanto al material de licenciatura, el punto en el que deberías centrarte depende en gran medida de tu nivel actual de habilidad en cálculo/análisis/álgebra. Si muchas de las preguntas del examen de matemáticas del GRE te resultan difíciles, puedes considerar la posibilidad de leer un libro como el de Apostol Cálculo (Vol. 1) o la obra de Spivak Cálculo En el caso de los problemas más difíciles, además de los libros de texto estándar (por ejemplo, Rudin, Zorich, etc.), se puede utilizar un libro de análisis. Para los problemas más difíciles en el análisis de pregrado, además de los libros de texto estándar (por ejemplo, Rudin, Apostol, Zorich), podría considerar el libro de problemas de Makarov/Goluzina o los de Kaczor y Nowak. En álgebra, además de los libros de texto estándar (por ejemplo, Artin, Jacobson, Dummit/Foote, Godement), están los libros de problemas de Proskuryakov (álgebra lineal) y Faddeev/Sominski.

Si sabes leer en francés, hay una serie de libros con problemas que se sitúan en una especie de nivel de "élite" del análisis/álgebra de grado (para los exámenes de acceso a las mejores escuelas de ingeniería y ciencias de Francia). La serie de cinco volúmenes de Ramis/Deschamps/Odoux y la de cuatro volúmenes de Arnaudiès/Fraysse son los libros de texto más conocidos, pero también hay libros de problemas de Leichtnam/Schauer y otro conjunto de Francinou/Gianella ( Oraux X ENS ).

Answer 3

Escuche.

No te sientas mal por no haber podido completar un problema. Este no es un problema que ponga a prueba los conocimientos, sino la habilidad. Me apasionan las matemáticas y paso mi tiempo libre leyendo sobre ellas. Para este problema en particular, trata de ver por qué funciona.

En primer lugar, pon todo a=b=c. Así podrás hacerte una idea de cuándo se cumplen las condiciones de igualdad. A continuación, intenta demostrar el mismo resultado para dos variables. $1/a + 1/b > 1/sqrt(ab)$ . ¿Por qué es verdad? Ahora, ves esa misma desigualdad en acción en términos más crudos. Ahora, vuelves a tu pregunta general y preguntas si puedes empezar con $a+b/2 > 1/sqrt(ab)$ y escribe la misma desigualdad tres veces y súmala para ver si terminas donde la pregunta lo pedía. En este caso, sí.

En el colegio me gustaban mucho las matemáticas, pero los profesores no eran buenos. Además, no estaba muy expuesta a cosas fuera del programa de estudios. Pero, al entrar en la universidad, descubrí exámenes como la Olimpiada. Por supuesto, era demasiado mayor para escribirlo, pero me fascinaban este tipo de preguntas que no requieren conocimientos de matemáticas superiores, pero que te ponen a prueba y que muchas veces son irresolubles. Ponía a prueba la habilidad matemática y no sólo los conocimientos matemáticos. En la escuela, aprendemos las preguntas al final del capítulo y luego las hacemos utilizando los métodos que hemos aprendido. Aprendemos los problemas en el contexto del método en lugar de aprender los métodos en los contextos de los problemas.

Por ejemplo, he aquí una pregunta. Dado un punto D dentro de un triángulo ABC, dibujamos otro triángulo ADC. ¿Puedes demostrar que AB + BC > AD + DC ? Se trata de un problema de secundaria, que se vuelve muy difícil cuando se saca de su contexto.

Sigo estudiando los problemas en profundidad. A medida que las personas se convierten en expertos en rendimiento, su percepción de los problemas mejora junto con su rendimiento. Esto significa que si hubiera tres problemas y se pidiera a un experto y a un novato que los clasificaran en dos grupos, el novato probablemente utilizaría características superficiales como la geometría, los números o el álgebra. El experto utilizaría características más profundas como la prueba por contradicción, la inducción, la analogía, etc. Un experto habría visto este problema y lo habría considerado como un problema de analogías más que de desigualdades.

Lo que necesitas es aprender a resolver problemas. Dedica algo de tiempo a algunos libros elementales que te inspiren de nuevo. El libro del Problema Húngaro es estupendo, pero es difícil empezar con él. Aquí hay algunos libros divertidos para empezar.

Círculos matemáticos Mathematical Problem Solving - Alan Schoenfeld (Se trata más de la psicología de la resolución de problemas que de un libro de matemáticas propiamente dicho).