El principio de incertidumbre y la energía-momentum 4-vector

Question

En cada una de las relaciones incertidumbre $$\Delta p_x \Delta x \geq \hbar/2$$ $$\Delta p_y \Delta y \geq \hbar/2$$$$\Delta p_z \Delta z \geq \manejadores/2$$$$\Delta E \Delta t \geq \hbar/2$$ el segundo término en el lado izquierdo es uno de los compoments de una posición de 4-vector, mientras que el primer término parece ser el correspondiente componente del momentum-energía 4-vector, es decir, el momento adecuado derivado de la posición de la componente multiplicado por la masa invariante.

¿Tiene esto alguna "más profundo" (lo que significa) física de significación o algo más está pasando aquí?

Soy perfectamente consciente de que esto podría ser una pregunta tonta, pero todavía estoy aprendiendo tanto cuántica y el espacio-tiempo de la física y nunca he tenido que lidiar con la intersección entre los dos, así que agradecería una simple aclaración!

Answer 1

Hay una historia muy interesante detrás de su pregunta. En el 1900's temprano (después de la Relatividad Especial de einstein se había introducido) la solución a la ecuación de onda en el vacío:

$a\exp(i(kx-wt)) + b\exp(-i(kx-wt)) $

donde $k$ es el vector de onda y $w/k=v$ y v es la velocidad de fase.

De Broglie fue el primero en observar que la fase de los factores de la ecuación en cada caso permanecen invariantes bajo transformaciones de Lorentz si $(k,w)$ es considerado un 4-vector. Esto significaba invariante de amplitud en cada evento. Esto es debido a que el producto escalar de los dos 4-vectores $(k,w)$ $(x,t)$ permanece invariante bajo transformaciones de Lorentz. A partir de esta notable pieza de la penetración, él dedujo que $(k,w)$ podría representar el 4-momentum, $(p,E)$, de una enorme partícula. Esta es la forma en la dualidad onda-partícula fue descubierta por primera vez. La Relatividad especial de einstein dio lugar al nacimiento de la mecánica cuántica en su forma adecuada!

La conmutación relación descubierto posteriormente

$[p,x]=-i\hbar$

en la resolución de da (ajuste de la arbitrariedad de la fase factor de p a 1): $p=-i\hbar \frac{∂}{∂x} $. La incertidumbre en relación con el impulso derivado de aquí.

La forma fundamental de la ecuación de Schrödinger

$i\hbar \frac{∂T}{∂t} = ET$

Donde $E$ es el Hamiltoniano y $T(t_0,t)$ es Unitario de la evolución en el tiempo del operador tiene sus orígenes en la relación entre el $x$ $p$ se extiende a $t$$E$.

Cuando la introducción de la ecuación de Schrödinger en su libro, Dirac señala que su etimología proviene principalmente de las consideraciones de la relatividad. En el hecho de Schrödinger ecuación original era en realidad relativista, donde $E$ fue el relativista de la energía. Schrödinger no estaba seguro de si tomar lo positivo o negativo de la raíz de $E^2$. Así que renunció en favor de su ampliamente conocida no-relativista forma.

Así que, de hecho, otros que el descubrimiento de cuantificada de los niveles de energía en la radiación de cuerpo negro y el efecto fotoeléctrico, cada avance en QM debe su existencia a la teoría especial de la relatividad.

EDIT: he dicho anterior w/k = c para una enorme partícula, esto es incorrecto. w/k es igual a la velocidad de fase, la cual es proporcional a 1/u. u es la velocidad de grupo, que es igual a la clásica de la velocidad de una enorme partícula. He corregido los infractores de las sentencias.

Answer 2

Vi una observación similar en Griffith, en la Mecánica Cuántica (página 114, 2ª Edición), que estoy libremente prestado de aquí.

En relativista de la teoría cuántica, la última ecuación seguiría de cualquiera de los tres primeros desde la división del espacio-tiempo en el espacio y el tiempo depende de la elección de Lorentz marco.

Sin embargo, en mecánica cuántica no relativista, la lógica falla, porque el espacio y el tiempo son muy diferentes; mientras que $p$, $x$ y $E$ son todos observables (operadores cuyo espectro es el conjunto de valores permitidos, etc, etc,), $t$ no lo es. De hecho, la ecuación de Schrödinger es de primer orden en $t$, pero de segundo orden en $x$, y Dirac obtuvo su relativista de la ecuación de onda por intentar varios métodos mediante la modificación de la ecuación de Schrödinger, de modo que era de primer orden en ambos.

El $\Delta E \Delta t$ incertidumbre en relación también es bastante más difícil, en mi opinión, la interpretación de la $\Delta p \Delta x$. La posterior tiene una interpretación sencilla, ya que cualquier estado cuántico tiene algunos $\Delta p$ y algunos $\Delta x$ asociado; por desgracia, no tiene $\Delta t$ - lo que significa que si decimos, esta partícula atrapada en un cuadro de ha $\Delta t = 1\mu s$? Una de las muchas interpretaciones trata $\Delta t$ como el tiempo que se toma para algunos otros observables a cambio de una desviación estándar (p 116), o el periodo de oscilación de un estado de energía $E$, o el tiempo de vida de un inestable partícula de masa de reposo de la energía $E$; por supuesto, obtenemos ligeramente distintos límites en cada momento, y es interesante que $\Delta E \Delta t$ siempre estar delimitado en estos casos; ciertamente no es obvio para mí.

Answer 3

La incertidumbre de Heisenberg relaciones lee

$$\etiqueta{1} \Delta x^{\mu}~\Delta p_{\nu} ~\gtrsim~ \frac{\manejadores}{2} \delta^{\mu}_{\nu}, \qquad \mu\nu\in\{0,1,2,3\}. $$

Claramente el más profundo principio físico que OP es encantador es de Poincaré simetría$ISO(3,1)$. Ahora, la posición de impulso de la incertidumbre de las relaciones puede ser fácilmente derivados de la canónica de relaciones de conmutación (CCR)

$$\etiqueta{2} [\hat{x}^j,\hat{p}_k] ~=~i\manejadores~ \delta^j_k~{\bf 1}, \qquad j,k\in\{1,2,3\}, $$

ver, por ejemplo, la página de Wikipedia. El tiempo-energía de la incertidumbre relación es más sutil de explicar en mecánica cuántica no relativista, ver, por ejemplo, este y este Phys.SE postes. Pero podríamos considerar que el análogo más simple pregunta

$$\tag{3} \Delta x^{j}~\Delta p_{k} ~\gtrsim~ \frac{\hbar}{2} \delta^{j}_{k}, \qquad j,k\in\{1,2,3\}, $$

para el Euclidiana grupo $E(3)=ISO(3)$ en el espacio de tres dimensiones, es decir, traslaciones y rotaciones sin que la aumenta. El último más simple pregunta de la siguiente manera debido a que (i) la incertidumbre en las relaciones (3) son una consecuencia directa de la CCR (2), y (ii) el CCR (2) son invariantes bajo Euclidiana simetrías.