Que expresan las Competencias en Términos de la Caída de los Poderes

Question

La caída en el poder de $n^\underline{k}$ (leer $n$ a la caída de la $k$) se define como sigue: $$n^\underline{k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)$$ Estos son importantes en el cálculo discreto debido a sus diferencias finitas, y las sumas son análogos a los de la normal de poderes en el cálculo diferencial: $$\Delta n^\underline{k} = k n^\underline{k-1}$$ Es fácil ver que $n^1=n^\underline{1}$$n^2=n^\underline{2} + n^\underline{1}$. Con estos casos, uno puede expresar de forma recursiva cualquier potencia normal $n^k$ como una suma de la caída de los poderes de la orden de $k$ y menos por el siguiente método: expandir $n^\underline{k}$, lo que da un $k$th polinomiales de orden. A continuación, sustituir la caída del poder de las expansiones para todos los términos de orden menor que $k$, expresando $n^\underline{k}$ $n^k$ además de algunos de menor orden de caída de los poderes. Reorganizar poner $n^k$ sobre el lado izquierdo y la caída de todos los poderes en el lado derecho. Por ejemplo, uno puede encontrar que $n^3 = n^\underline{3} + 3n^\underline{2} + n^\underline{1}$.

Esto es algo tedioso para hacer a mano para grandes valores de $k$. Hay un método más directo para expandir $n^k$ en una suma de la caída de los poderes?

Answer 1

Desde darij grinberg no ha publicado su comentario como una respuesta (y resolvió el OP del problema), yo soy la transferencia de su comentario aquí como una comunidad wiki para obtener esta apagado sin respuesta de la cola.

Usted está buscando los números de Stirling del segundo tipo (http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_numbers_of_the_second_kind ). Tienen una buena relación de recurrencia y son los coeficientes de la descomposición.