Ecuación funcional: Cuando $f(x+y)=f(x)+f(y)-(xy-1)^2$

Question

¿Cómo se resuelve la siguiente ecuación funcional cuando $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

$$f(x+y)=f(x)+f(y)-(xy-1)^2$$

Cuando supuse que era una ecuación polinómica, se puede ver por inducción que $$f(nx)=nf(x)-\sum _{ i=1 }^{ n-1 }{ (ix^2-1)^2 } $$

para algún número natural $n$ .

Esto implica que $$f(n)-nf(1)+\sum _{ i=1 }^{ n-1 }{ (i-1)^2 }=0 $$ es cierto para todos los naturales $n$ o que para todos $n$ $$f(n)-nf(1)+\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}=0$$

Como hay un número infinito de soluciones para $f(n)-nf(1)+\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}=0$ se puede decir que $$f(n)=nf(1)-\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}$$ para todo número real $n$ .

Esto implica que $f(n)$ es del grado $3$ pero esto es una contradicción ya que si $f(n)$ tenía un grado de $3$ el coeficiente de $x^2y^2$ sería $0$ .

Así que parece que no hay soluciones polinómicas para esta función. Además, pensé que no habría funciones que satisficieran esta ecuación.

¿Cómo se resuelve esta ecuación? Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

$$f(x+y)=f(x)+f(y)-(xy-1)^2\\ f(2)=2f(1)\\ f(3)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-1\\ f(2)+f(2)-9=f(4)=f(1)+f(3)-4\\ 4f(1)-9=4f(1)-5$$

Answer 2

Primero ponga $x=y=0$ en la ecuación funcional para obtener que

$$f(0)=1 \tag{1}$$

Entonces supongamos que $y \ne 0$ por lo que dividiendo la ecuación funcional por $y$ podemos escribir

$$\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{f(y)-1}{y}-\frac{(xy-1)^2-1}{y} \tag{2}$$

$$\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{f(y)-f(0)}{y-0}-\frac{x^2y^2-2xy}{y} \tag{3}$$

A continuación, tome el límite cuando $y \to 0$ para obtener

$$f'(x)=f'(0)+2x \tag{4}$$

Donde hemos asumido que $f(x)$ es diferenciable sobre $\mathbb{R}$ . A continuación, la integración de $(4)$ obtenemos

$$f(x)-f(0)=f'(0)x+x^2 \tag{5}$$

O, por el contrario

$$f(x)=x^2+f'(0)x+1 \tag{6}$$

Pero podemos observar que $(6)$ nunca satisfará la ecuación funcional ya que $f(x)$ es un polinomio de segundo grado y hay términos de cuarto grado como $x^2y^2$ en la ecuación funcional . Así que lo único que nos queda es que

No hay ningún tipo de diferenciación $f(x)$ que satisface la ecuación funcional