¿Cuál es la definición de longitud de correlación para el modelo de Ising?

Question

La longitud de la correlación $\xi$ está relacionada con la temperatura crítica $T_c$ como $$ \xi\sim|T-T_{c}|{}^{-\nu}, $$

donde $\nu$ es el exponente crítico.

1. ¿Es esta la definición formal de la longitud de la correlación? Si no, ¿cuál es la definición formal de la longitud de correlación (para la transición de fase en el modelo de Ising)?
2. ¿Puede dar una comprensión física de la longitud de correlación?

Answer 1

Esa no es una definición de longitud de correlación. (Es es una definición del exponente crítico).

La longitud de correlación se define en términos de la función de correlación de 2 puntos de los observables de espín. Puntos de elección $x$ y $y$ en la red, y considerar el valor de la expectativa $\langle s(x) s(y) \rangle$ del producto del observable de espín en $x$ y el espín observable en $y$ . Esta cantidad indica el grado de correlación del giro en $x$ y el giro en $y$ son, en función de la temperatura, la constante de acoplamiento y la distancia entre $x$ y $y$ . Si $T > T_c$ entonces la función de correlación muere exponencialmente rápido en $|x-y|$ .

$\langle s(x) s(y) \rangle \sim e^{-\frac{|x-y|}{\xi(T)}}$

La longitud de correlación es, por definición, la constante (en $x$ y $y$ pero no en $T$ ) que indica la rapidez con la que desaparece la función de correlación.

Answer 2

Sólo una pequeña adición a lo que dijo user1504: la longitud de la correlación se puede definir para $T<T_c$ también, para que $\big\langle\big(s(x)-\langle s(x) \rangle \big)\big(s(y)-\langle s(y) \rangle \big)\big\rangle=e^{-\frac{|x-y|}{\xi}}$

Answer 3

El modelo Ising bidimensional de red cuadrada, que es un modelo simplificado de la realidad, presenta una transición de fase. Onsager demostró que existe una temperatura específica, denominada temperatura de Curie o temperatura crítica, $T_c$ por debajo del cual el sistema muestra un orden ferromagnético de largo alcance. Por encima, es paramagnético y está desordenado.

A temperatura cero, cada espín está alineado en la dirección +1 (o -1). Cuando aumentamos la temperatura, manteniendo por debajo de $T_c$ , algún giro de comienza a orientarse en la dirección opuesta. La escala de longitud típica de la formación de racimos se llama longitud de correlación, $\xi$ y crece a medida que aumentamos la temperatura y diverge a $T_c$ . Si vamos más allá $T_c$ la longitud de correlación comienza a disminuir, y a la temperatura infinita, se convierte en cero.

Simulación del modelo Ising bidimensional en una red de 100x100. De izquierda a derecha y de arriba a abajo, la temperatura aumenta. En equilibrio, cuando $T<T_c$ Las configuraciones típicas de la fase + son las siguientes sea'' of + spins with islas'' de $-$ giros. Para un tamaño de red mayor, el island'' have lagos'' de + giros. En esta imagen, los giros + están en negro, $-$ Los giros están en blanco. Cada objeto blanco conectado es un racimo.

Formaly La función de correlación de dos puntos definida como \begin {Ecuación} \label {Gamma} \Gamma (i-j)= \langle S_iS_j \rangle - \langle S_i \rangle\langle S_j \rangle \end {Ecuación} La longitud de la correlación, $\xi(T)$ es la longitud característica en la que el valor de la función de correlación $\Gamma(i)$ ha decaído a $e^{-1}$ : $$\Gamma(i)\sim \exp\Bigg(\frac{|i|}{\xi(T)}\Bigg)$$ Y \begin {Ecuación} \label {longitud de correlación} \xi (T) \sim |T-T_c|^{- \nu } \end {Ecuación} Y para $d=2$ , $\nu=1$ .

Answer 4

Dado que la derivación técnica y la explicación de la longitud de correlación ya se han tratado en detalle, prefiero compartir mis conocimientos sobre este tema.

La noción de longitud de correlación es bastante general en el estudio de la transición de fase térmica o cuántica. Es la única escala de longitud relevante cerca del punto crítico.

Pensemos en un sistema magnético. Normalmente, los espines cercanos tienden a estar correlacionados. Lejos del punto crítico, $T \neq T_c$ su correlación se extiende a una cierta distancia $\xi$ llamada longitud de correlación. Ésta es el tamaño típico de las regiones en las que los espines asumen el mismo valor, como se muestra a continuación

Donde el tamaño del dominio magnético viene dado por la longitud de correlación. Por supuesto, uno puede hacer su definición más precisa en términos del comportamiento asintótico de la función de correlación, pero la imagen física sigue siendo la misma que corresponde al diagrama anterior.