Demostrar que $\lim\limits_{x \to 0} \sinh(x)/x =1$.

Question

Demostrar que $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} =1.$

Estoy teniendo algunos problemas para probar esto sin derivado. ¡Alguna ayuda sería mucho aprecio!

Answer 1

Ninguna razón a la hora de números complejos. Que $x = iu$.

$$\begin{align}\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} &= \lim_{u\to 0} \frac{\sinh (iu)}{iu} \\ &= \lim_{u\to 0} \frac{i\sin (u)}{iu} \\ &= \lim_{u\to 0} \frac{\sin (u)}{u} \\ &=1\end{align}$$

Answer 2

$$ \frac{\sinh x} {x} = \frac {e ^ x-e ^ {-x}} {2 x} = \frac {1 + x + \frac {x ^ 2} {2}. +...-\left (x 1 + \frac {x ^ 2} {2}. _...\right)}{2x}=\frac{2x+\frac{2x^3}{3!} +..} {x 2} = 1 + \frac {x ^ 2} {3}. +...$$

Takong $\lim$ en ambos lados obtenemos $1$ ${{{{}}}}$

Answer 3

Reescritura utilizando el límite conocido $e$:

\frac{\sinh(x)$ $ \lim_{x \rightarrow 0}} {x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e ^ {-x}} {2 x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1 + 1 - e ^ {-x}} {2 x} = \frac{1}{2} \lim \frac{e^x - 1} {x} - \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{-x}-1}{x} $$

$$ = \frac{1}{2} \lim \frac{e^x - 1} {x} + \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1} {x} = 1 $$

Answer 4

Sugerencia: $\displaystyle\sin ⁡x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ y $\displaystyle\sinh ⁡x=\frac{\sin⁡(ix)}{i}$

Answer 5

Usted podría utilizar el teorema del apretón con delimitación de las funciones 1 y $e^{|x|}$