comprobar/refutar que si $f\circ g$ inyectiva y g sobreyectiva, entonces f es inyectivo

Question

La pregunta sería: demostrar/refutar eso si $f\circ g$ inyectiva y g es surjective, entonces f es inyectiva.

después de pensarlo, llegué a la conclusión de que es una prueba. trató de probar, pero se ve que no válidos. Agradecemos sus comentarios y correcciones.

Prueba:

• debido a $f\circ g$ es inyectiva, entonces g es inyectiva así.
• porque dado que g es surjective, y hemos llegado a la conclusión de que también es inyectiva -> es reversible por $g^{-1}$
• si $f\circ g$ es inyectiva y $g^{-1}$ es inyectiva, entonces $f\circ g\circ g^{-1}$ inyectiva así.

Vamos a no ser $a_1,a_2$. $a_1=a_2 \iff f\circ g\circ g^{-1}(a_1)=f\circ g\circ g^{-1}(a_2) \iff f\circ i(a_1) = f\circ i(a_2) \iff f(a_1)=f(a_2)$

¿Qué te parece??

Answer 1

No creo que su prueba es malo per se, pero me gustaría ir sobre cosas un poco más directamente.

Supongamos que $f(x_1)=f(x_2)$. Existen $y_1,y_2$ tal que $x_1=g(y_1)$ y $x_2=g(y_2)$. Tenemos $f\circ g (y_1)=f\circ g (y_2)$. Así $y_1=y_2$. Así $x_1=x_2$.

Answer 2

Que $f:B\to C$ y $g:A\to B$ y Supongamos que es inyectiva $f\circ g$ y $g$ es sobreyectiva. Entonces cada elemento $b$ $B$ es de la forma $b=g(a)$, sin embargo no puede definir $g^{-1}$ ya que pueden existir múltiples %#% de #% con esta propiedad.

Usted debe comenzar con $a$ así que $f(b_1)=f(b_2)\implies f\circ g(a_1)=f\circ g(a_2)\implies a_1=a_2$, donde $b_1=b_2$. Este es el camino más directo en lugar de mostrar que $b_i=g(a_i)$ es inyectiva primero por lo que se puede definir $g$.