Encontrar $N(D_{4})/D_{4}$ $D_{4}$ $D_{16}$

Question

Quiero encontrar a $N(D_{4})/D_{4}$ $N(D_{4})$ dónde está el normalizador de $D_{4}$ $D_{16}$. No tengo demasiado claro en qué el normalizador de $D_{4}$ $D_{16}$

¿Hay una buena manera de encontrar $N(D_{4})/D_{4}$? Me parece no entender este ejercicio y agradeceria alguien explicando a mí.

Answer 1

Esta es una situación donde explícito cálculos son el camino a seguir. A menudo este trabajo, incluso cuando no hay una mejor manera y a menudo te deja con una mejor comprensión de lo que está pasando (sé que entiendo el diedro grupo mejor después de hacerlo), así que usted puede probar en primer lugar antes de intentar algo realmente inteligente.

Deje $r,s$ ser la generación de rotación y reflexión de $D_{16}$, respectivamente. A continuación, $D_4$ es el subgrupo generado por $r^4$, $s$. Si $t$ normaliza $D_4$, luego $$tr^4t^{-1}=r^{4a}$$ para algunos $a$ (desde cualquier interior automorphism envía rotaciones a las rotaciones y reflexiones reflexiones), y $$tst^{-1}=r^{4b}s$$ para algunos $b$. Así $$tr^4st^{-1}=r^{4(a+b)}s$$ Deje $t=r^xs^y$ donde$0\leq x<16$$y\in \{0,1\}$.

Supongamos primero que $y=0$. Entonces $$tr^4t^{-1}=r^4$$ y $$tst^{-1}=r^xsr^{-x}=r^{2x}s$$ Por lo tanto $x$ debe ser un múltiplo de $2$ a fin de $t$ de este formulario para normalizar $D_4$.

Supongamos siguiente que $y=1$. Entonces $$r^xsr^4sr^{-x}=r^{-4}$$ y $$r^xsssr^{-x}=r^{2x}s$$ Por lo tanto $x$ ser un múltiplo de $2$ es también la única posibilidad en este caso. Podemos concluir que el normalizador es generado por $r^2,s$ y por lo tanto isomorfo a $D_8$. Ya que este tiene el doble de elementos como $D_4$, su cociente es un grupo de orden $2$.

Answer 2

Un poco más rápido para llegar al mismo lugar:

Desde $rs(r^4s)rs = r(r^{12}s)srs = (r^{13})(rs) = r^{14}s \not\in D_4$, se sigue que:

$N(D_4) \neq D_{16}$.

Por otro lado, $D_8 = \langle r^2,s\rangle$ contiene $D_4 = \langle r^4, s\rangle$, e $D_4$ índice de $2$ en este subgrupo de $D_{16}$, y es por lo tanto necesariamente normal (esto también elimina la posibilidad de que $N(D_4) = D_4$).

Desde $D_8$ (de esta forma) es un subgrupo maximal de a $D_{16}$, debe ser el normalizador, y como hemos visto en el índice, el cociente tiene orden de $2$.

(Para ello se utiliza el hecho de que el normalizador de un subgrupo de $H$ en un grupo de $G$ es el mayor subgrupo de $G$ contiene $H$ que $H$ es normal).

Si uno mira de cerca a ver que esto es esencialmente un "orden argumento", y sólo uno de conjugación se calcula. Desde $[D_{16}:D_4] = 4$, las únicas posibilidades para el normalizador de la orden de $8,16$ o $32$.

(Casi irrelevante comentario: potencias de dos, juegan un papel esencial en el "carácter" de diedro grupos).