Sobre la serie $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^2+k}$ y la función digamma

Question

Que proporcionamos una forma cerrada para $$ S_k = \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^2+k} $ $ $k>0$ en términos de funciones elementales. Es muy fácil comprobar que puede computar en términos de la función digamma $S_k$ $\psi(x)$, pero también es cierto que: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(mx)}{m}e^{-\sqrt{k}\,x}\,dx =\frac{1}{m^2+k}\tag{1} $ $ y que, casi en todas partes: $$ \sum_{n\geq 0}\frac{\sin((2n+1) x)}{2n+1} = \frac{\pi}{4}(-1)^{\left\lfloor\frac{x}{\pi}\right\rfloor}, \tag{2}$ $ por lo tanto: $$\begin{eqnarray*} S_k &=& \frac{\pi}{4}\int_{0}^{+\infty}(-1)^{\left\lfloor\frac{x}{\pi}\right\rfloor} e^{-\sqrt{k}\,x}\,dx = \frac{\pi}{4}\sum_{n\geq 0}(-1)^n \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}e^{-\sqrt{k}\,x}\,dx \\&=&\frac{\pi}{4\sqrt{k}}\sum_{n\geq 0}(-1)^n\left(e^{-n\pi\sqrt{k}}-e^{-(n+1)\pi\sqrt{k}}\right)\\&=&\frac{\pi\left(1-e^{-\pi\sqrt{k}}\right) }{4\sqrt{k}}\sum_{n\geq 0}(-1)^n e^{-n\pi\sqrt{k}}=\color{red}{\frac{\pi}{4\sqrt{k}}\cdot\frac{e^{\pi\sqrt{k}}-1}{e^{\pi\sqrt{k}}+1}}.\tag{3} \end{eqnarray*}$ $

¿Algo interesante acerca de los valores especiales de la función digamma ofrece esta identidad?

Answer 1

Su resultado sólo confirma la ya conocida especial los valores de la función digamma.

Uno puede recordar que la función digamma admite la siguiente representación de la serie $$\begin{equation} \psi(x+1) = -\gamma - \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+x} -\frac{1}{n} \right), \quad \Re x >-1, \tag1 \end{equation} $$ where $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante. Por parcial fracción de descomposición hemos $$ \begin{align} \frac{1}{(2n+1)^2+k} &= \frac{i}{2\sqrt{k}}\left(\frac{1}{(2n+1)+i\sqrt{k}}-\frac{1}{(2n+1)-i\sqrt{k}}\right)\\\\ &=\frac{i}{4\sqrt{k}}\left(\frac{1}{n+\frac{1+i\sqrt{k}}{2}}-\frac{1}{n+\frac{1-i\sqrt{k}}{2}}\right)\\\\ &=\frac{i}{4\sqrt{k}}\left[\left(\frac{1}{n+\frac{1+i\sqrt{k}}{2}}-\frac1n\right)-\left(\frac{1}{n+\frac{1-i\sqrt{k}}{2}}-\frac1n\right)\right] \end{align} $$ then summing from $n=1$ to $+\infty$, using $(1)$, tenemos $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2+k} =\frac{i}{4\sqrt{k}}\left(\psi\left(\frac{1-i\sqrt{k}}{2}+1\right)-\psi\left(\frac{1+i\sqrt{k}}{2}+1\right)\right) $$ usando $$ \psi(x+1)=\psi(x)+\frac1x $$ it gives the case $n=0$ para obtener $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2+k} =\frac{i}{4\sqrt{k}}\left(\psi\left(\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{k}}{2}\right)-\psi\left(\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{k}}{2}\right)\right)=\color{red}{\frac{\pi}{4\sqrt{k}}\cdot\frac{e^{\pi\sqrt{k}}-1}{e^{\pi\sqrt{k}}+1}} $$ donde hemos usado el resultado (6.3.12): $$ \Im \psi\left(\frac{1}{2}+iy\right)=\frac{\pi}{2}\tanh (\pi y). $$