Véase "Álgebra" de Lang, segundo párrafo desde arriba, p. 122. Sea $A$ sea un anillo y $X$ , $X^'$ sea $A$ -módulos. Sea $Hom_A(X,X')$ sea el conjunto de $A$ -de $X$ à $X'$ . Se menciona que si $A$ es conmutativa, entonces podemos hacer $Hom_A(X,X')$ en un $A$ -definiendo $(\alpha f)(x) = \alpha f(x)$ para $\alpha \in A$ , $f \in Hom_A(X,X')$ y $x \in X$ mientras que si $A$ no es conmutativa, entonces sólo podemos considerar $Hom_A(X,X')$ como grupo abeliano. La pregunta es: ¿por qué necesitamos la propiedad de conmutatividad para tener una operación bien definida de $A$ en $Hom_A(X,X')$ como arriba? ¿Qué ocurre si eliminamos la conmutatividad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para la función $\alpha f$ para que sea un homomorfismo de módulo, necesitamos que satisfaga $$(\alpha f)(x+y) = (\alpha f)(x) + (\alpha f)(y)$$ y $$(\alpha f)(\lambda x) = \lambda (\alpha f)(x).$$ La primera condición no es un problema, pero la segunda puede fallar si $R$ no es conmutativa: sea $\alpha$ y $\lambda$ sean dos elementos de $R$ tal que $\alpha \lambda\neq \lambda\alpha$ . Entonces $$(\alpha f)(\lambda x) = \alpha \Bigl(f(\lambda x)\Bigr) = \alpha\Bigl(\lambda f(x)\Bigr) = \alpha\lambda f(x);$$ pero $$\lambda(\alpha f)(x) = \lambda\Bigl(\alpha f(x)\Bigr) = \lambda\alpha f(x).$$ No tenemos ninguna garantía para afirmar que $\alpha\lambda f(x) = \lambda\alpha f(x)$ para todos $x$ Así que $\alpha f$ no tiene por qué ser un homomorfismo de módulo cuando $R$ no es conmutativa.
