Ecuación funcional - ¿estoy correcto?

Question

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$x^2+y^2+2f(xy)=f(x+y)(f(x)+f(y))$$

Así que aquí está mi solución,

Si $x=y=0$,

$2f(0)=2f(0)^2$

$\implies f(0)=0$ o $f(0)=1$.

Caso $1$: $f(0)=0$

Si $y=0$,

$x^2+2f(0)=f(x)(f(x)+f(0))$ $$f(x)^2=x^2$$

Ahora supongamos que por el bien de la contradicción que $f(x)=-x$ algunos $x \in \mathbb{R/\{0\}}$. A continuación, $x^2+y^2-2xy=(-x-y)(-x-y)$ $$\implies (x-y)^2=(x+y)^2$$ which is a contradiction as $x+y=\pm(x-y)$ forces $x$ or $s$ to equal $0$ que no está permitido.

Por lo tanto $f(x)=x$, por el contrario, uno fácilmente se comprueba que esto satisface la ecuación dada.

Caso $2$: $f(0)=1$

De nuevo vamos a $y=0$ y, a continuación,$$f(x)^2+f(x)-x^2-2=0$$ (remember we're assuming $ f(0)=1$)

La solución para $f(x)$ obtenemos $$f(x)=\frac{-1 \pm \sqrt{4x^2+9}}{2}$$

Si usted permite que el signo más o menos para ser un signo menos $f(0) \not= 1$. Por lo tanto debe ser un plus.

Pero cuando usted sub de nuevo en la ecuación original y, a continuación, poner $x=y=1$ no funciona. Por lo tanto no funciona para todos los $x$ contradicción por lo tanto $f(x)=x$ como en el caso de que uno es la única solución. QED

Mi preocupación aquí es el último párrafo, ¿puedo hacerlo? Es fuerte? Si es así, ¿hay una mejor y más matemáticamente "profesional" (por la falta de una palabra mejor) manera de decirlo?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

En el Caso 1, se sustituye $y = -x$ en la ecuación original. Obtenemos $$x^2+x^2+2f(-x^2)=0(f(x)+f(-x))$$ which means that $$f(-x^2)=-x^2$$ holds for all $x$. This means that $$f(y)=y \text{ holds for all }y\leq 0.\tag{*}$$ Ahora, vamos a $x>0$$y < -x$. Sustituto $x$ $y$ en la ecuación original. Por $(*)$ esto nos da $$x^2+y^2 + 2xy=(x+y)(f(x)+y),$$ where we used the facts that $y,xy$ and $x+y$ are negative. Divide by $x+y$ (which is nonzero by our assumptions) and simplify to get $f(x) = x$. This proves that $f(x) = x$ holds also for positive $x$.

En el Caso 2, como se dio cuenta, obtenemos $$f(x)=\frac{-1 \pm \sqrt{4x^2+9}}{2},$$ i.e. there are only two possibilities for each $x\in\mathbb R$. Therefore there are four possible choices of $f(1)$ and $f(2)$. But each of them leads to a contradiction if we substitute $x=y=1$ en la ecuación original. Por lo tanto, el Caso 2 no conducen a una solución.

Edit: la cosa a notar aquí es que en $$f(x)=\frac{-1 \pm \sqrt{4x^2+9}}{2},$$ we can choose a plus or a minus sign for each $x$ independently, so it is not enough to consider only the cases $$f(x)=\frac{-1 + \sqrt{4x^2+9}}{2}$$ and $$f(x)=\frac{-1 - \sqrt{4x^2+9}}{2}.$$ We also have to prove that functions like $$f(x)=\begin{cases}\frac{-1 + \sqrt{4x^2+9}}{2};&\text{if }x>0,\\ \frac{-1 - \sqrt{4x^2+9}}{2};&\text{if }x\leq 0. \end{casos}$$ no puede ocurrir. Demostrando que no hay ningún valor de $f(1)$ que podría funcionar, hemos logrado exactamente esto.