Finito de extensión de integralmente anillo cerrado de nuevo integralmente cerrado

Question

Deje $S\subset R$ ser finito anillo de extensión, es decir, $R$ es finitely genera como una $S$-módulo. Suponga que $S$ es integralmente cerrado. ¿Esto implica que también se $R$ es integralmente cerrado (en su cociente de campo)?

Answer 1

No: $S=\mathbb Z\subset R=\mathbb Z[2i]=\mathbb Z\oplus \mathbb Z\cdot 2i$

[Uno ha $i\notin R$, a pesar de $i\in Frac(R)$ es un cero de la monic polinomio $X^2+1\in R[X]$]