Derivar la superficie de una esfera a partir del volumen

Question

Soy un estudiante de secundaria, así que sé cómo derivar el volumen $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ utilizando el cálculo, pero soy incapaz de derivar su superficie.

Sin embargo, observo que podemos aproximar la superficie de una esfera imaginando "la cáscara" de la esfera como la diferencia entre dos esferas de tamaño similar con una anchura infinitamente pequeña.

Lo que quiero decir es que si tenemos dos esferas, una de radio $r$ y otro de radio $r+h$ , donde $h$ es muy pequeña, la superficie puede medirse aproximadamente por la diferencia de volumen de estas dos esferas dividida por su anchura $h$ .

Por lo tanto, si $f(r)$ es el volumen de una esfera de radio $r$ entonces la superficie debe ser $$\lim_{h\to0} \dfrac{f(r+h)-f(r)}{h}$$ pero esta es exactamente la derivada $f'(r)$ del volumen.

Por lo tanto, podemos decir que la superficie de una esfera es $4\pi r^2$ .

¿Esta prueba es correcta? ¿Es rigurosa? ¿Cómo puedo mejorarla y hacerla más convincente?

Me he dado cuenta de que esto debería funcionar de forma similar para otros objetos, por ejemplo, la derivada del área de un círculo es su perímetro. ¿Este fenómeno se extiende igualmente a otros ejemplos?

Gracias por toda su ayuda.

Answer 1

Dada la multitud de comentarios diferentes y dada la primera respuesta que dice que su fórmula "se mantiene en general", me gustaría recalcar: NO es cierto que $V'(r)=S(r)$ para el volumen $V$ y superficie $S$ de los cuerpos convexos generales a escala $r$ .

Lo que sí es cierto es que localmente

$S\approx V/h$ ,

donde localmente significa que estamos considerando un pequeño trozo de superficie, lo suficientemente pequeño como para que sea aproximadamente un trozo de plano, y denotamos por $S$ su área y por $V$ el volumen del cuerpo que se obtiene al extender la superficie a lo largo de su normal dirección por longitud $h$ (normal = ortogonal a la superficie)

Cuando se quiere considerar el caso global, es decir, se quiere "sumar" las fórmulas locales, la esfera es un caso especial porque cuando se amplía la esfera entonces todos los trozos pequeños de superficie como se ha descrito anteriormente son por el mismo longitud normal $h$ . Para otros cuerpos convexos la suma no funciona.

El problema de los cuerpos convexos en general es que cuando se amplía el cuerpo algunos de los pequeños trozos de superficie se extienden más que otros. Por ejemplo, si intentas aplicar tu fórmula a rectángulos con longitudes de lado $2r$ y $r$ (y centrado en el origen), se obtiene la fórmula încorrecta $S(r)=V'(r)=(2r^2)'=4r$ . La diferencia con la fórmula correcta $S(r)=6r$ proviene del hecho de que al dividir por $h$ como tú, es "injusto" para los lados largos. Estos lados largos se extienden sólo $h/2$ en su dirección normal cuando $r$ se amplía a $r+h$ .