¿Por qué la inversa de una matriz ortogonal es su transposición?

Question

Así que la pregunta está en el título. Es fácil de demostrar cuando sabemos que hay números reales en él y el producto punto es estándar. Pero ¿por qué esto funciona en el caso general - cuando hay números complejos en el interior y el producto punto es otra cosa?

Answer 1

Dejemos que $C_i$ el $i^{\text{th}}$ columna de la matriz ortogonal $O$ entonces tenemos

$$\langle C_i,C_j\rangle=\delta_{ij}$$ y tenemos $$O^T=(C_1\;\cdots\; C_n)^T=(C_1^T\;\cdots\; C_n^T)$$ por lo que obtenemos

$$O^TO=(\langle C_i,C_j\rangle)_{1\le i,j\le n}=I_n$$

Answer 2

A es otogonal significa que A'A = I. ¡Eso dice que A' es la inversa de A!

Answer 3

Representar su matriz ortogonal $O$ como elemento del Grupo de Lie de las matrices ortogonales . Lo consigues:

$$O = \exp(\Omega),$$ donde $\exp$ significa que el matriz exponencial y $\Omega$ es un elemento del Álgebra de Lie correspondiente, que es sesgado-simétrico, es decir $\Omega^T = -\Omega$ . Ahora transpóngalo para obtener: $$O^T=\exp(\Omega)^T=\exp(\Omega^T)=\exp(-\Omega),$$ que es la inversa de $O$ : Desde $\Omega$ y $-\Omega$ ir al trabajo , es decir $[\Omega,-\Omega]_-=0$ podemos escribir $$O^TO=\exp(-\Omega)\exp(\Omega)=\exp(-\Omega+\Omega)=\exp(0)=1$$

Answer 4

T=. Ahora transpóngalo para obtener OT=exp()T=exp(T)=exp(), que es la inversa de O: Como y conmutan, es decir, [,]=0 podemos escribir OTO=exp()exp()=exp(+)=exp(0)+ 0+1 -1 transposición 1+0 +Y -X +0=1

Answer 5

Sustituir "ortogonal" por "unitario" ( http://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_matrix ), y "transponer" por "transposición conjugada" ( http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_transpose ) para obtener una declaración válida.