La ampliación de una homeomorphism de un subconjunto de un espacio a un $G_\delta$

Question

Estoy teniendo problemas para averiguar la siguiente pregunta (3.10 en Kechris, Clásica Descriptivo de la Teoría de conjuntos): Si $X$ es completamente metrizable, y $A\subseteq X$ $f:A\to A$ un homeomorphism, entonces hay un $G_\delta$ $G\subseteq X$ contiene $A$ y una extensión de $h:G\to G$ $f$ que es un homeomorphism de $G$.

Lavrentiev del Teorema nos consigue $G_\delta$ conjuntos de $G'$ $H'$ contiene $A$, y un homeomophism $g:G'\to H'$ extender $f$, pero no me parece que la prueba de que el resultado puede ser fácilmente adaptado para hacer $G'=H'$. El hecho clave en todo esto es el conjunto de $\bar{A}\cap\{x:\mathrm{osc}_f(x)=0\}$, para cualquier continua $f:A\to X$ $G_\delta$ $X$ sobre la cual se puede ampliar continuamente $f$.

Answer 1

Por Lavrentiev del teorema $f$ puede ser extendida a una homeomorphism $f_0:G_0\to H_0$ donde $G_0$ $H_0$ $G_\delta$- pone en $X$ contiene $A$. Deje $G_1=G_0\cap H_0$, y deje $H_1=f_0[G_1]$; claramente $G_1$$G_\delta$$X$. Por otra parte, $G_1$$G_\delta$$G_0$, e $f_0$ es un homeomorphism, por lo $H_1$ $G_\delta$ $H_0$ y, por tanto, en $X$. Finalmente, $f_1\triangleq f_0\upharpoonright G_1:G_1\to H_1$ es un homeomorphism extender $f$. Ahora vamos a $H_2=G_1\cap H_1$, $G_2=f_1^{-1}[H_2]$, y $f_2=f_1\upharpoonright G_2$; $G_2$ y $H_2$ $G_\delta$- conjuntos que contengan $A$, e $f_2$ es un homeomorphism entre ellos la ampliación de $f$.

Continuar de esta manera. Si $n\in\omega$ es incluso, $G_{n+1}=G_n\cap H_n$$H_{n+1}=f_n[G_{n+1}]$, mientras que si $n$ es impar, $H_{n+1}=G_n\cap H_n$$G_{n+1}=f_n^{-1}[H_{n+1}]$, e $f_{n+1}=f_n\upharpoonright G_{n+1}$ en ambos casos. Los conjuntos de $G_n$ $H_n$ $G_\delta$- pone en $X$, y cada una de las $f_n$ es un homeomorphism de $G_n$ a $H_n$ extender $f$. Tenga en cuenta que $$H_0\supseteq G_1\supseteq H_2\supseteq G_3\supseteq H_4\supseteq\dots\;.$$

Ahora vamos a $$G=\bigcap_{n\in\omega}G_n=\bigcap_{n\in\omega}H_n\qquad\text{ and }\qquad\bar f=\bigcap_{n\in\omega}f_n=f_0\upharpoonright G\;;$$ clearly $G$ is a $G_\delta$ containing $$, and $\bar f$ is a homeomorphism of $G$ onto $$\bar f[G]=\bigcap_{n\in\omega}f_n[G_n]=\bigcap_{n\in\omega}H_n=G\;.$$