Cómo probar $ \int_0^1 f(x)dx-\exp\left(\int_0^1\log(f(x)) dx\right)\le\max_{0\le x,y\le 1}\left(\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(y)}\right)^2 $

Question

Considere una función continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}^{+}$. Cómo mostrar que

$\int_0^1 f(x)dx-\exp\left(\int_0^1 \log(f(x)) dx\right)\le \max_{0\le x,y\le 1}\left(\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(y)}\right)^2$?

Answer 1

Es el continuo de la versión de un conocido resultado acerca de la diferencia entre la media aritmética y la media geométrica: véase, por ejemplo, el artículo de S. H. Tung, o el artículo de J. M. Aldaz, demostrando que:

Si $0\leq a_1\leq a_2\leq\ldots\leq a_n$$X=(a_1,\ldots,a_n)$, entonces: $$ AM(X)-GM(X)\leq n \operatorname{Var}(\sqrt{X}).$$