¿Por qué no definir las derivadas infinitas?

Question

¿Hay alguna razón particular por la que las derivadas "infinitas" no estén bien definidas? Por ejemplo, $x \mapsto x^{\frac 13}$ en $x=0$ . Más concretamente, ¿qué tiene de malo la siguiente definición de diferenciabilidad?

Dejemos que $f:I \to \mathbb{R}$ sea una función real y que $c$ sea un punto interior de $I$ . Si $f$ es continua en $c$ y el límite $$\lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$$ existe y es igual a $L$ , donde $L \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$ , $f$ se dice que es diferenciable en $c$ .

No parece que haya nada obviamente malo en esto.

El teorema más importante, el teorema del valor medio, sigue siendo válido con esta definición, según la Wikipedia. Además, si no me equivoco, con esta definición existe la bonita propiedad de que si $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ es inyectiva y diferenciable, $f^{-1}$ también lo es.

Estoy asumiendo, por supuesto, que hay son problemas ya que utilizamos la definición más estricta:
¿qué son?

Answer 1

Se perderían las reglas de suma, producto y cociente de las derivadas. Se perdería la regla de la cadena. Se perdería el hecho de que una derivada en un punto implica continuidad en ese punto. El teorema del valor intermedio ya no se aplicaría a las funciones diferenciables. Se pierde la propiedad de Darboux de las derivadas. Di adiós a Taylor. A nuestros alumnos de primer año les va a encantar.

Answer 2

Es una cuestión de convención y acuerdo entre matemáticos.

Para mí, no hay ningún problema si se dice que la función es diferenciable en algún punto $c$ aunque $\lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$ es igual a $+\infty$ o $- \infty$ . Esto sólo extendería la diferenciabilidad de algunas funciones a un conjunto mayor, por ejemplo su ejemplo $x \mapsto x^{\frac 13}$ con su definición sería diferenciable en $\mathbb R$ y no sólo en $\mathbb R \setminus \{0\}$ . Así que yo no diría como tú dices que las derivadas de algunas funciones en algunos puntos que son iguales a $+\infty$ o $- \infty$ no están bien definidos, están bien definidos, sólo que solemos tomar por definición que la derivada de alguna función en algún punto es un número finito.

La situación es, vista así, similar a la de las series.

Se podría definir que la serie $\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ de números reales es convergente si el límite $\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$ existe y es igual a algún miembro del conjunto $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$ . Con esta definición, por ejemplo, la serie armónica $\sum_{i=1}^{\infty}\frac {1}{n}$ sería una serie convergente.

El único "problema" que veo con estos ampliado definiciones de la derivada en algún punto y la convergencia de la serie es que tal vez tendríamos que, al demostrar algunos teoremas, sustituir la suposición Supongamos que $f$ es diferenciable en algún punto $c$ ... con la suposición Supongamos que $f$ es diferenciable en algún punto $c$ y que la derivada en ese punto no es igual a $+ \infty$ o $- \infty$ ... (y de forma similar para las series(e integrales)).

Por lo tanto, yo diría que no hay nada malo en su ampliado definición.

Answer 3

Estoy de acuerdo con la respuesta anterior de @Farewell.

Otro aspecto que vale la pena considerar en mi opinión es el teorema de la función inversa.

Si una función con "derivada" $\pm \infty$ tiene una inversa, entonces en muchos casos la derivada de la inversa en el punto será $0$ . (Básicamente obtenemos una línea vertical con una línea horizontal cuando cambiamos las variables dependiente e independiente).

En primer lugar, tratemos de considerar algunos problemas geométricos asociados a la existencia de la "derivada" $\pm \infty$ de una función unidimensional. En ese punto, la línea tangente asociada sería claramente vertical.

Pero ahí radica un problema importante: ¿cómo se puede definir sistemáticamente la pendiente de una línea vertical? No se puede, es imposible porque tanto $\infty$ y $-\infty$ serán opciones igualmente razonables -- este problema de no unicidad no ocurre para ningún otro tipo de línea tangente, por cierto.

Claro, en el caso de $x^{-1/3}$ se podría argumentar que "por continuidad" la pendiente debería definirse como $+\infty$ . Pero, ¿qué pasa con $\sqrt{x}$ y $-\sqrt{x}$ ? Por continuidad la derivada de uno a 0 sería $+\infty$ y el otro tendría la derivada $-\infty$ en 0, pero ambas corresponderían a la misma línea tangente de la curva $x=y^2$ .

En más de una dimensión, los problemas geométricos asociados al intento de definir una "derivada infinita" son aún peores. En concreto, una "derivada infinita" correspondería a la inversa inexistente de una matriz singular, y hay literalmente incontables formas en las que una matriz puede ser singular (es decir, no ser invertible y tener determinante cero), por lo que cualquier intento de encontrar un número razonablemente pequeño de "pseudoinversas" para todas las matrices singulares no sería abordable.

(Además, el espacio de las matrices invertibles tiene una bonita propiedad llamada "apertura" que es similar a la idea de un intervalo abierto que las matrices no invertibles simplemente no tienen. Piénsalo así: el conjunto de números reales que tienen recíprocos bien definidos es $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$ -- dos intervalos abiertos, mientras que el conjunto de números reales que no tienen un recíproco bien definido, $\{0\}$ es un punto (los puntos tienen la propiedad de ser "cerrados"). Una situación similar se da en dimensiones superiores).

En la prueba de la función inversa (para un número general de dimensiones, incluyendo $n=1$ ), nos basamos en que la derivada es "no nula" (en un sentido generalizado) para demostrar que podemos encontrar una inversa local de la función centrada en ese punto.

La prueba no se cumple cuando la derivada es "cero" porque no podemos definir un valor único para la derivada de la función inversa local en ese punto (de nuevo, esto es cierto incluso para $n=1$ como he mencionado anteriormente).

Answer 4

Quizás la mayor razón por la que no definimos derivadas infinitas es que perderíamos el teorema de que la diferenciabilidad implica continuidad. Las funciones discontinuas como $$ \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \sgn(x)=\begin{cases} -1 &\text{if $x<0$} \\ 0 & \text{if $x=0$} \\ 1 & \text{if $x>0$} \end{cases} $$ tendría una derivada de $\infty$ en $x=0$ :

Quizás $\infty$ es intuitivamente el valor que queremos asignar al gradiente de esta función en $x=0$ . Pero dado que las pruebas de la regla del producto y de la regla de la cadena se basan en la diferenciabilidad que implica la continuidad, creo que definir infinitas derivadas causaría más problemas de los que resuelve.