Permítanme contarles la historia completa de vector de paquetes debido a que en muchos libros de este tema no se desarrolla correctamente o sólo en una manera ad hoc.
Definición. Deje $X$ ser un esquema. Un pre-vector paquete en $X$ $X$- $V$ tal que para cada a $X$- $T$ el conjunto de $T$valores de los puntos de $X(T)$ lleva la estructura de un módulo sobre $\mathcal{O}_T(T)$. Esta estructura pertenece a los datos. Para $X$-morfismos $T \to T'$ requerimos que $X(T') \to X(T)$ es lineal en $\mathcal{O}_{T'}(T') \to \mathcal{O}_T(T)$. Es evidente que existe una noción de morfismos de pre-vector de paquetes. Por lo tanto, obtenemos una categoría. Todos los morfismos $X' \to X$ induce un pullback functor $V \mapsto V|_{X'}$ (el esquema subyacente es $V \times_X X'$) de pre-vector bultos en $X$ a pre-vector bultos en $X'$.
Un ejemplo es $\mathbb{A}^n_X$ con la habitual estructura del módulo en $\mathbb{A}^n_X(T) = \mathcal{O}_T(T)^n$. Cualquier pre-vector paquete isomorfo a $\mathbb{A}^n_X$ algunos $n$ se llama trivial. Un vector paquete de más de $X$ es un pre-vector $V$ paquete de más de $X$ que es localmente trivial, es decir, hay una cubierta $\{X_i \to X\}_i$ tal que $V|_{X_i}$ es trivial para cada una de las $i$. Obtenemos una categoría de vector de paquetes.
Si $E$ es un cuasi-coherente módulo en $X$, $V(E):=\mathrm{Spec}(\mathrm{Sym}(\check{E}))$ es un afín $X$-esquema de con $V(E)(T) = \hom_{\mathcal{O}_T}(p^* \check{E},\mathcal{O}_T)$$p : T \to X$. Este conjunto como un canónica $\mathcal{O}_T(T)$-módulo de estructura, de manera que $V(E)$ se convierte en un pre-vector paquete. Observar que $V(\mathcal{O}_X^n)=\mathbb{A}^n_X$ es la trivial vector paquete. Por lo tanto, si $E$ es localmente libre, $V(E)$ es un vector paquete. Claramente esto define un functor $V(-)$ a partir de la categoría de localmente libre de poleas a la categoría de vector de paquetes de más de $X$.
Teorema. El functor $V(-)$ es una equivalencia de categorías.
Prueba. En primer lugar, $V(-)$ es totalmente fiel: Vamos a $E,F$ ser localmente libre de poleas en $X$. Pretendemos que $\hom(E,F) \to \hom(V(E),V(F))$ es un bijection. En realidad tenemos un morfismos de poleas $\underline{\hom}(E,F) \to \underline{\hom}(V(E),V(F))$ $X$ y pretendemos que este es un isomorfismo. De esta manera podemos trabajar localmente y así asumir ese $E,F$ son triviales, decir $E=\mathcal{O}_X^n$$F=\mathcal{O}_X^m$.
A continuación, $\underline{\hom}(E,F)$ se convierte en una gavilla de matrices $\mathcal{O}_X^{m \times n}$. La gavilla de $X$-morfismos $\mathbb{A}^n_X \to \mathbb{A}^m_X$$\mathcal{O}_X[t_1,\dotsc,t_n]^m$. Uno de cheques (!) que una de morfismos $\mathbb{A}^n_X \to \mathbb{A}^1_X$ correspondiente a un polinomio en $\mathcal{O}_X[t_1,\dotsc,t_n]$ es una de morfismos de vector haces el fib de este polinomio es lineal. Esta muestra $\underline{\hom}(V(E),V(F)) \cong (\mathcal{O}_X^m)^n$, lo que termina la prueba.
En segundo lugar, $V(-)$ es esencialmente surjective: Vamos a $V$ ser un vector paquete en la $X$. Elegir una cubierta $\{X_i \to X\}$ y una banalización $\phi_i : V|_{X_i} \cong V(\mathcal{O}_{X_i}^n)$ (aquí se $n$ puede depender de $i$). Mediante la fidelidad, la resultante isomorphisms $\phi_{ij} := \phi_i |_{X_i \cap X_j} \phi_j^{-1} |_{X_i \cap X_j}$ son inducidos por isomorphisms $\psi_{ij} : \mathcal{O}_{X_i \cap X_j}^n \cong \mathcal{O}_{X_i \cap X_j}^n$. Desde $\phi_{ij}$ satisfacer las cocycle condición, lo mismo es cierto para el $\psi_{ij}$. Por lo tanto, tenemos un encolado de datos $(\mathcal{O}_{X_i}^n,\psi_{ij})$, y obtener un localmente libre gavilla $E$ tal que $V(E) \cong V$ por la construcción. $\square$
Como ya se ha mencionado, cada equivalencia de categorías que se conserva (y refleja) monomorphisms. En particular, un homomorphism de libre gavillas de módulos de $\mathcal{O}_X^n \to \mathcal{O}_X^m$ es un monomorphism (en la categoría de local libre de poleas) si y sólo si el inducido de morfismos de trivial vector de paquetes de $\mathbb{A}^n_X \to \mathbb{A}^m_X$ es un monomorphism. Sin embargo, monomorphisms localmente libre de las poleas no deben ser confundidos con monomorphisms en la categoría mayor de todas las poleas de los módulos, y monomorphisms de vector de paquetes no debe ser confundido con monomorphisms de esquemas, digamos morfismos de esquemas de cuyo subyacente mapa de conjuntos es inyectiva, o inyectiva en las fibras - que parece ser el habitual ad-hoc de la definición de un subbundle.
Por ejemplo, considere la posibilidad de regular de la sección global $s$$\mathcal{O}_X$. A continuación, $s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X$ es un monomorphism de poleas, por tanto, también de local libre de las poleas. El inducido de morfismos de vector de paquetes de $\mathbb{A}^1_X \to \mathbb{A}^1_X$ corresponde al polinomio $s * t$. Si $s$ es invertible, es un isomorfismo. Si no, elija algunas de $x \in X$ tal que $s_x \in \mathfrak{m}_x$, es decir,$s(x)=0$$\kappa(x)$, por lo que en la fibra de $x$ obtenemos el cero de morfismos $\mathbb{A}^1_{\kappa(x)} \to \mathbb{A}^1_{\kappa(x)}$, cuyo subyacente mapa de conjuntos no es inyectiva.
