Medida de la varianza explicada para el GLM de Poisson (función log-link)

Question

Estoy buscando una medida apropiada de la "varianza explicada" de un GLM de Poisson (utilizando una función de enlace logarítmico).

He encontrado una serie de recursos diferentes (tanto en este sitio como en otros) que discuten una serie de diferentes pseudo- $R^2$ medidas, pero casi todos los sitios mencionan las medidas en relación con una función de enlace logit, y no discuten si el pseudo- $R^2$ son apropiadas para otras funciones de enlace, como log-link para mi GLM de distribución de Poission.

Por ejemplo, estos son algunos de los sitios que he encontrado:

Qué pseudo- $R^2$ ¿es la medida a reportar para la regresión logística (Cox & Snell o Nagelkerke)?

http://thestatsgeek.com/2014/02/08/r-squared-in-logistic-regression/

http://www.ats.ucla.edu/stat/mult_pkg/faq/general/Psuedo_RSquareds.htm

Mi pregunta es: ¿Alguno de los métodos que se comentan en esos enlaces (en particular, las preguntas frecuentes de la página de UCLA) es apropiado para un MLG de Poission (que utiliza una función de enlace logarítmico)? ¿Hay algún método en particular que sea más apropiado y/o que se utilice de forma estándar que cualquier otro método?

Algunos antecedentes:

Esto es para un trabajo de investigación en el que estoy utilizando un GLM de Poission para analizar datos neuronales. Estoy utilizando las desviaciones de los modelos (calculadas asumiendo una distribución de Poission) para comparar dos modelos: Un modelo (A) que incluye 5 parámetros que se dejaron fuera del otro modelo (B). Mi interés (y el enfoque del artículo) es mostrar que esos 5 parámetros mejoran estadísticamente el ajuste del modelo. Sin embargo, uno de los revisores quiere saber si ambos modelos se ajustan a los datos.

Si utilizara OLS para ajustar mis datos, el revisor está pidiendo efectivamente el $R^2$ tanto para el modelo con los 5 parámetros como sin los 5 parámetros, para indicar lo bien que cualquiera de los dos modelos explica la varianza. Me parece una petición razonable. Digamos que, hipotéticamente, el modelo B tiene un $R^2$ de 0,05 y el modelo A tiene un $R^2$ de 0,25: aunque sea una mejora estadísticamente significativa, ninguno de los dos modelos explica bien los datos. Por otra parte, si el modelo B tiene un $R^2$ de 0,5 y el modelo A tiene un $R^2$ de 0,7, que podría interpretarse de forma muy diferente. Estoy buscando la medida más adecuada que pueda aplicarse de forma similar a mi MLG.

Answer 1

McCullagh y Nelder 1989 (página 34) dan para la función de desviación $D$ para la distribución de Poisson:

$$ D = 2 \sum\left(y \log\left(\frac{y}{\mu} \right) + (y-\mu)\right) $$

donde y representa sus datos y $\mu$ su salida modelada. Utilizo esta función para estimar la desviación explicada $ED$ de un GLM con distribución de Poisson así:

$$ ED = 1 - \frac{D}{\text{total deviance}} $$

donde la desviación total viene dada por la misma ecuación para $D$ pero utilizando la media de $y$ (un solo número, es decir $\mathrm{mean}(y)$ ) en lugar del conjunto de estimaciones modeladas $\mu$ .

No sé si esto es 100% correcto, para mí suena lógico y parece funcionar como se esperaría que funcionara una estimación de la desviación explicada (te da 1 si usas $\mu = y$ etc.).