Soy un investigador en ciencias sociales y he encontrado la siguiente formulación matemática de un problema en mi campo. Tenga en cuenta que soy relativamente nuevo en el intercambio de pilas y ya he publicado esto en math.stackexchange así como en mathoverflow, antes de que me pidieran que lo publicara aquí. Por favor, háganme saber si debo borrar el doble post de los sitios (de lo contrario, definitivamente actualizaré todos los sitios cuando reciba una respuesta). Gracias!
Deje que $x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1}$ ser $n+1$ i.i.d. variable aleatoria con soporte no negativo y masa de probabilidad estrictamente positiva alrededor de cero. Que $$z_k \equiv \min\ {x_1,...,x_k\}.$$
En las simulaciones, encuentro $Cov(z_{n+1},z_n)$ para estar muy cerca de $Var(z_{n+1})$ y muy diferente de $Var(z_{n})$ siempre y cuando $n>>1$ . He intentado esto para muchas distribuciones (con apoyo no negativo): $Cov(z_{n+1},z_n) / Var(z_{n+1}) \approx 1$ y la aproximación mejora a medida que $n$ aumenta, incluso para pequeños $n$ como $n=5$ . Por otro lado, $Cov(z_{n+1},z_n)/Var(z_n)$ está muy lejos de la 1.
¿Cómo puedo formalizar esto? Es decir, estoy buscando algún tipo de límites sobre cómo la aproximación mejora con $n$ . Por supuesto, como $n \to\infty $ , $Var(z_n)=Var(z_{n+1})$ así que estoy buscando resultados ya sea para $n$ finito, o un resultado asintótico que toma $n$ a $ \infty $ en $m \equiv floor(c \cdot n)$ por constante $c>1$ de tal manera que $Cov(z_n,z_m)$ está más cerca de $Var(z_m)$ que $Var(z_n)$ .
Nótese que la aproximación sólo funciona para X con soporte no negativo y tiene una masa de probabilidad positiva en un vecindario alrededor de cero. Creo que a partir de los resultados de la teoría de los valores extremos, tales distribuciones tienen una distribución exponencial en el límite. No sé si esto es importante.
