¿Por qué no el Conjunto de Cantor contradictorio?

Question

Así que empieza con un 1-dimensional palo, quitar el tercio medio de él, dejando 2 piezas. De cada una de estas 2 piezas, quitar el tercio medio. Etc. Lo que queda al final de un número infinito de etapas, llamada "el Cantor de Polvo".

La versión corta de mi problema: Aquí hay dos cosas que he leído sobre el Polvo de Cantor: una. No consiste en puntos aislados. b. Asimismo, no contiene segmentos de distinto de cero de longitud. (a) y (b) a mí me parecen incompatibles el uno con el otro. No veo cuál es la tercera alternativa podría ser.

Versión larga: Aquí está lo que me parece el caso:

1. Al final del proceso, hay aleph-null piezas de el palo izquierdo. Esto debe ser así, ya que los recortes sólo se produjo en lugares con racional coordenadas (llamar a un extremo de la vara "0" y el otro extremo "1"). Así que hay aleph-null cortes, por lo que no debe ser sólo aleph-null piezas.
2. Cada pieza tiene un tamaño de cero. Esto debe ser así, dado que la medida de las cosas eliminado es 1, por lo que el total de la medida de que el Polvo es 0.
3. Si una pieza tiene un tamaño de cero, es un punto. Imaginar la superposición de una de las piezas de Cantor de Polvo en la parte superior de un punto geométrico. ¿Hasta dónde se pegan? Distancia cero. Por lo tanto, la pieza coincide con el punto, y por lo tanto la pieza en sí es sólo un punto.
4. Por lo tanto, el conjunto de Cantor se compone de aleph-null puntos. (De 1-3.)
5. Pero también he leído que el conjunto de Cantor contiene una cantidad no numerable de puntos.

¿Qué ha ido mal aquí? En las fuentes que he mirado, nadie habla de la "versión larga" argumento anterior. Ninguno, incluso la dirección de la "versión corta", que me sorprende.

Enmienda: tengo la intención de "piezas" para ser el más grande conectado a las partes que están a la izquierda (por lo que una pieza puede ser un único punto). Tengo la intención de que el término para captar el sentido en el que, después de la primera etapa, decimos que "hay dos piezas"; después de la segunda etapa "hay cuatro piezas", etc.

Answer 1

"un. No consiste en puntos aislados. b. Asimismo, no contiene segmentos de distinto de cero de longitud. (a) y (b) a mí me parecen incompatibles el uno con el otro."

Considerar el conjunto de todos los números racionales.

• No tiene puntos aislados, ya que cada intervalo abierto acerca de un número racional contiene otros números racionales.
• No incluye intervalos de positivos longitud, ya que cada intervalo abierto acerca de un número racional contiene algunos números irracionales. (Esa última declaración es un poco más de trabajo para demostrar que puede superficialmente parece, aunque puede ingenuamente parecer obvio.)

Correctamente observar que el número de estaciones de otras "piezas" $\aleph_0$. No puede exceder de que debido a que cada estación es racional y sólo hay countably muchos números racionales.

Entonces usted incorrectamente inferir, a partir de que el conjunto de Cantor es sólo una unión de "piezas" cada uno de los cuales está delimitado por algunos de esos extremos. Esto tendría sentido si el conjunto de Cantor eran simplemente la unión de los intervalos cuyos extremos eran aquellas piezas.

Piensa en la cantidad de $1/4$: es un miembro del conjunto de Cantor. Que "la pieza" ¿pertenece usted? Es un miembro del tercio más bajo del intervalo de de $0$ a $1$, para no quedar eliminado en el primer paso. Es un miembro más de la tercera de que, por lo que no se eliminan en el segundo paso. Es un miembro del tercio más bajo de que, luego de la tercera de que, y así sucesivamente, alternando. El hecho de que los suplentes como que debe quedar claro tan pronto como usted ve que $1/4$ está situado a solo $1/4$ de la forma a partir de $1/3$ $0$, es decir $1/4$ de la forma de la parte superior del tercio más bajo de la parte inferior. Si el conjunto de Cantor consistió en "piezas", cuyos criterios de valoración fueron los eliminados medio tercios, entonces la cuestión de que tal "pieza" la cantidad de $1/4$ pertenece tendría sentido.

Sin intervalo de positivos longitud es un subconjunto del conjunto de Cantor, ya que algunas partes de cada intervalo se borran como el proceso de eliminación de medio tercios progresa.

Si usted tiene $\aleph_0$ piezas de cada tamaño $0$, entonces no llenar todo el intervalo. Medida es "countably aditivo", es decir, si la medida de cada pieza $A$ es $m(A)$ y no se cruzan entre sí (excepto, posiblemente, en conjuntos cuya medida es de $0 a$) a continuación, $$ m\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty m(A_n). $$ Si la unión de la izquierda es todo el intervalo, entonces la suma de las medidas de la derecha es de $1$.

Uno no puede expresar el intervalo de $0$ a $1$ como una unión de $\aleph_0$ subconjuntos de igual medida.

Cuando vi por primera vez el conjunto de Cantor, pensé que iba a contener sólo los extremos de la eliminan medio tercios. Pero el hecho de $1/4$ es un miembro del conjunto de Cantor es un contraejemplo. Así es de $3/10$. Pero ambos tienen patrones que se repiten; es la presencia de la no-repetición de patrones que hace posible que la cardinalidad exceda los $\aleph_0$.

Answer 2

Sí, el conjunto de Cantor es contrario a la intuición, o más bien Cantorintuitive... bueno, eso no es divertido.

Hay puntos en el conjunto de Cantor, que no son extremos del intervalo. Por ejemplo, los puntos de límite de puntos de los extremos del intervalo. Dado que el conjunto de Cantor es cerrada, contiene toda su límite de puntos, y recordar que un contable puede tener un número incontable de límite de puntos.

Por ejemplo, $\frac14$ está escrito en trenary base de $0.\overline{02}$. Por lo tanto, es un elemento del conjunto de Cantor, pero es bastante fácil ver que $\frac14$ no es un intervalo extremo.

Añado también que el tercer punto se invierte. Solo puntos de medida cero, pero no todas las medidas de ajuste a cero es un punto. Por ejemplo, un conjunto finito a es la unión de un número finito de puntos, por lo que su medida es la suma de un número finito de $0$'s, que es de $0$.

Si usted también acepta el hecho de que Borel y Lebesgue medidas son de $\sigma$-aditivo, esto se extiende a todos los contables conjunto. Por ejemplo, los números racionales, los números algebraicos, y así sucesivamente.

Answer 3

No es un problema ya de hablar de "al final del proceso". Si tenemos una secuencia de números racionales $3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3,14159, \ldots$, ¿cómo puede existir el número irracional $\pi$ "al final" de la secuencia, si todos los términos de la secuencia son racionales? Bien, así es como es: $\pi$ es el límite de la secuencia, pero no en la secuencia. Cuando se cambia de un proceso a su límite, cosas extrañas pueden suceder. A veces incluso es problemático lo que el "límite" debe ser (considere una lámpara apagada, a veces $1-\frac1{2n}$ y a veces $1-\frac1{2n-1}$; ¿cuál es el límite del estado de la lámpara a $t=1$?). Para el número de secuencias que se obtenga una noción de límite a través de la métrica en los reales; por el polvo de Cantor, el límite es simplemente la intersección de los pasos individuales; pero aún así debemos reconocer que muchas de las propiedades no pueden ser transferidos demasiado "ingenuamente", de los términos de la secuencia hasta el límite.

Desde un punto de vista diferente: Usted sabe que entre dos números racionales siempre existe al menos un número irracional; y entre dos números irracionales, siempre hay al menos un número racional. Por lo que la situación es simétrica y, sin embargo, hay $\aleph_0$ muchas racionales y $\mathfrak c$ muchas irrationals.

Answer 4

3 es falsa. Hay un montón de conjuntos de medida cero, que son infinitos. Tomar los racionales, por ejemplo. Podemos cubrir por intervalos de tamaño $\epsilon 2^{-n}$ alrededor de los $n$th número racional. Entonces sabemos que el total de la medida de todo el conjunto de los racionales es:

$$\mu(\Bbb Q)\le\sum_{n=1}^\infty \epsilon 2^{-n}=\epsilon$$

por lo tanto los racionales tienen medida cero, pero el conjunto de los racionales es sin duda ni un solo punto.

Por cierto: los racionales no contienen intervalos de cualquiera y no tiene puntos aislados y tienen medida $0$.

Answer 5

Tal vez la metáfora física que utiliza es el problema. Ciertamente tiene fragmentos en el $n$th paso de la corte, pero eso no significa que hay fragmentos cuando haya terminado con el infinito de la mudanza.

Estos frase no tiene sentido: "Si una pieza tiene un tamaño de cero, es un punto. Imaginar la superposición de una de las piezas de Cantor de Polvo en la parte superior de un punto geométrico. ¿Hasta dónde se pegan? Distancia cero. Por lo tanto, la pieza coincide con el punto, y por lo tanto la pieza en sí es sólo un punto."

¿Qué significa eso?

¿Cómo (1)-(3), permiten concluir que los puntos son contables?

La noción de "obra" es lo que es confuso. ¿A qué te refieres? Lo que se obtiene es un conjunto de puntos, que es lo que empezar. Es cierto que, en el $n$th paso, puede representar que establece como una unión de $2^n$ cerrada intervalos (piezas) pero la intuición de que lo que te queda después de la repetición de un conjunto infinito de retiros es de "piezas" en lugar de "puntos" es una intuición, no el rigor.

Son como los números racionales en este camino, pero se diferencia de los números naturales de la forma en que son innumerables. Que es lo que hace que el conjunto de Cantor interesante.

He aquí una pregunta útil. ¿Qué significa para un conjunto $X$ a medida cero? Para ello, necesita el concepto de medida de Lebesgue, pero básicamente significa que, si $\epsilon>0$, entonces hay una posibilidad de conjunto infinito de (no trivial) los intervalos que cubren $X$, tal que la suma de las longitudes de los intervalos es de $<\epsilon$. Contable de conjuntos puede ser fácilmente cubierto de esta forma - si el conjunto es de $\{x_1,x_2,\dots\}$, a continuación, dibuje un intervalo de longitud $e/2^i$ alrededor de $x_i$ para obtener un cubrimiento.

Ahora, el conjunto de Cantor es la intersección de los conjuntos $C_0\supset C_1\supset C_2\supset C_3\dots$. Donde $C_i$ es el estado después de la eliminación de los intervalos en la $i$th paso. Y $C_i$ ya es la unión de $2^i$ intervalos de longitud $3^{-i}$. Así que tenemos que $C=\cap C_i$ también tiene medida cero, ya que cada cada $C_i$ cubre $C$.

El opuesto a la noción de que la "medida positiva" es la suma de "positivo partes" - es malo, también. Usted puede tomar el conjunto de los números irracionales en $(0,1)$, y que tiene una medida de 1$$. No hay "partes" de este conjunto - no contiene intervalos. Esa es una razón por la que usan el término "medida" en lugar de "longitud". "Longitud" da la impresión equivocada.

(W también el uso de "medida", porque se generaliza en un montón de maneras, por supuesto).