¿Cómo es el polinomio de Taylor derivados?

Question

Entiendo cómo la aproximación lineal de las obras:

$$L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$

Pero si seguimos con esta aproximación con el fin de obtener un resultado más exacto, ¿cómo podemos obtener el polinomio de Taylor de fórmula?

¿Por qué dividimos por $n!$ y ¿por qué debemos plantear $(x-x_0)$ $n$ de la potencia?

Gracias de antemano!

Answer 1

Aquí es la idea básica. Todo comienza con algo que se llama " el poder de la serie de una función: una manera de escribir una función como una suma de (posiblemente infinita, pero voy a utilizar un número finito) términos diferentes.

$$f(x) = \sum_{k = 0}^{n}a_n(x-x_0)^n = a_0 + a_1(x - x_0) +\cdots+a_n(x-x_0)^n$$

Si su $f$ es diferenciable (decir $n$ veces diferenciable) entonces podemos resolver la $a_n$:

$$f'(x) = \sum_{k = 1}^{n}na_n(x-x_0)^{n-1}$$ $$f''(x) = \sum_{k = 2}^{n}n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}$$ $$\vdots $$ $$f^{n}(x) = n(n-1)(n-2)\cdots(2)(1)a_n = n!a_n$$ Y se puede ver entonces que $$a_n = \frac{f^{n}(x)}{n!}$$

Poner eso en la ecuación original. Ahora tiene que:

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}(x)}{k!}(x-x_0)^k$$

Answer 2

Voy a escribir algunos "Un nivel lógico" aquí, pero creo que será de ayuda.

Tomar: $$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$$ Me di cuenta de que:

• $f(0)=a_0$
• $f'(0)=a_1$
• $f''(0)=2a_2$
• $f'''(0)=3\cdot2a_3$
• $f''''(0)=4\cdot3\cdot2a_4$
  $\qquad\vdots$
• $f^{(n)}(0)=n!a_n$

Se sigue de esto que el $a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ - puede recuperar los coeficientes de la alimentación de la serie (EN ALGUNOS CASOS - ahora sé)

Esta es una de la serie de McLaurin, es un caso especial de la serie de Taylor y, por alguna razón, el nombre se quedó, McLaurin de la serie es el nombre de una de la serie de Taylor alrededor del origen. Llegó después de la serie de Taylor y McLaurin mismo refutó el nombre, pero se quedó.

La Taylor de la serie, como las otras respuestas nota es el "cambiado" en la forma de este.

Escribo esta respuesta porque es demasiado largo para un comentario, y ya que se inicia una corriente de alimentación de la serie! En Un nivel, esto fue increíble.

Answer 3

Es la única $n$th-grado del polinomio cuyos derivados de la $0$th derivada de la $n$th derivadas son iguales a los de $f$.

Más muestra un, vamos a $\displaystyle P(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k $ $n$th-grado del polinomio de Taylor. Entonces \begin{align} P(x_0) & = f(x_0) \\ P'(x_0) & = f'(x_0) \\ P''(x_0) & = f''(x_0) \\ P'''(x_0) & = f'''(x_0) \\ & {}\, \, \, \vdots \\ P^{(n)}(x_0) & = f^{(n)}(x_0) \end{align} $P(x)$ es la única $n$th-grado del polinomio de que las igualdades anteriores son verdaderas.