Como nota (Wikipedia)
La fórmula fue descubierta por primera vez por Abraham de Moivre en el formulario
$$n!\sim \text{constant}\cdot n^{n+1/2} e^{-n}.$$
De Moivre dio una expresión para la constante en términos de su natural
logaritmo. Stirling contribución consistió en mostrar que la
constante es $\sqrt{2\pi}$. La más precisa de las versiones son debido a
Jacques Binet.
Cuando se trata de obtener un crédito, usted debe comprobar que el lema que dice que cuando un resultado es attributted a alguien, no es generalmente el verdadero descubridor (irónicamente este hallazgo fue demostrado para ser descubierto por anoher persona antes, por lo que la conclusión en sí misma es un ejemplo de esta controversia).
Supongo que el crédito que le es dado por su asintótica de expansión en serie, que le da el "poco" aproximación:
$$n! \sim {n^n}{e^{ - n}}\sqrt {2\pi n} $$
En cuanto a cómo la aproximación se encuentra, me respondió hace unos días el siguiente:
Si estás familiarizado con [Wallis infinito de producto]
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {2n} \right)!!}}{{\left( {2n - 1} \right)!!}}\frac{1}{{\sqrt n }} = \sqrt \pi $$
A continuación, puede utilizar
$$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {2n} \right)!{!^2}}}{{\a la izquierda( {2n} \right)!}}\frac{1}{{\sqrt n }} = \sqrt \pi \cr
& \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^{2n}}{{\left( {n!} \right)}^2}}}{{\a la izquierda( {2n} \right)!}}\frac{1}{{\sqrt n }} = \sqrt \pi \cr} $$
Ahora se puede comprobar que
$$\alpha = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n!{e^n}}}{{{n^n}\sqrt n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {2n} \right)!{e^{2n}}}}{{{{\left( {2n} \right)}^{2n}}\sqrt {2n} }}$$
existe. A continuación, la plaza de la primera expresión y dividir por el último de conseguir
$$\alpha = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n!} \right)}^2}{e^{2n}}}}{{{n^{2n}}n}}\frac{{{{\left( {2n} \right)}^{2n}}\sqrt {2n} }}{{\left( {2n} \right)!{e^{2n}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n!} \right)}^2}{2^{2n}}\sqrt 2 }}{{\left( {2n} \right)!\sqrt n }} = \sqrt {2\pi } $$
Por lo tanto usted tiene que
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n!{e^n}}}{{{n^n}\sqrt {2n} }} = \sqrt \pi $$
o
$$n! \sim {n^n}{e^{ - n}}\sqrt {2\pi n} $$
