Hacer dos matrices cerca espectral norma tiene cerca de huellas?

Question

Deje $A_p$ $B_p$ ser una secuencia simétrica positiva definida $p\times p$ matrices tales que $$\|A_p - B_p\|_2 \le 1/p.$$ Suppose further that the spectra of $A_p$ and $B_p$, for all $p$, is contained in a compact interval in $(0,\infty)$. And finally suppose that for all $p$, $\operatorname{tr}(B_p) = p.$

Intuitivamente, parece que deben seguir a partir de esto que $$\|pA_p/\operatorname{tr}(A_p) - B_p\|_2 \le const./p.$$

¿Esto en realidad?

Answer 1

Para hacer un muy ligero generalización: voy a probar esto de Hermitian positivo-semidefinite matrices.

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Preliminares:

De la desigualdad a la que le dan, y el hecho de que los espectros se encuentra en algunas compacto intervalo de $[\lambda_{min},\lambda_{max}]$, podemos afirmar:

$A_p$ $B_p$ son positivas semidefinite Hermitian matrices, donde $A_p$ tiene los autovalores $\alpha_i$: $$\lambda_{max} \geq \alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots \geq \alpha_p \geq \lambda_{min} \geq 0,$$ y $B_p$ tiene los autovalores $\beta_i$: $$\lambda_{max} \geq \beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \geq \beta_p\geq \lambda_{min} \geq 0,$$ luego por la Weyl matriz de desigualdades:$\forall i = 1,\dots,p$: $$|\alpha_i - \beta_i| \leq \|A_p-B_p\|_2 \leq 1/p.$$

También debemos señalar que la norma espectral $\|A_p\|_2$ $A_p$ satisface: $$\|A_p\|_2 = \max_{i = 1,\,\dots\,,\,p}|\alpha_i| = \alpha_1 \leq \lambda_{max}.$$

Por último, tenga en cuenta que para $p \geq 2$ tenemos que $$\frac{1}{p-1} \leq \frac{2}{p}.$$

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Reclamo:

Para todos los $p = 1, 2, \dots$ , tenemos que $$ \left\|\frac{p}{\operatorname{tr}(A_p)}A_p-B_p\right\|_2 \leq \frac{1+2\lambda_{max}}{p} $$

Primero de todo, tenga en cuenta que para $p=1$ la prueba es bastante trivial: $$\frac{p}{\operatorname{tr}(A_p)}A_p = \frac{A_p}{A_p} = 1$$ y $$B_p = \operatorname{tr}(B_p) = p = 1,$$ por lo tanto $$ \left\|\frac{p}{\operatorname{tr}(A_p)}A_p-B_p\right\|_2 = \| 1 - 1 \|_2 = 0 \leq 1+2\lambda_{max}. $$

Supondremos $p \geq 2$ a partir de ahora. Desde $\operatorname{tr}(B_p) = p$$|\alpha_i - \beta_i| < 1/p$, tenemos que $$|\operatorname{tr}(A_p)-\operatorname{tr}(B_p)| = \left|\sum_{i=1}^p \alpha_i - \sum_{i=1}^p\beta_i\right|=\left|\sum_{i=1}^p (\alpha_i - \beta_i)\right| \leq \sum_{i=1}^p |\alpha_i - \beta_i| \leq \sum_{i=1}^p \frac{1}{p} = 1.$$ Definir $\varepsilon = \operatorname{tr}(A_p) - \operatorname{tr}(B_p) \in [-1,1]$, de tal manera que $\operatorname{tr}(A_p) = \operatorname{tr}(B_p) + \varepsilon = p+\varepsilon > 0$.

El uso de nuestros preliminares, obtenemos: \begin{align} \left\|\frac{p}{\operatorname{tr}(A_p)}A_p-B_p\right\|_2 &=\left\|\frac{p}{p+\varepsilon}A_p-B_p\right\|_2 \\ &=\left\|\frac{p + \varepsilon-\varepsilon}{p+\varepsilon}A_p-B_p\right\|_2 \\ &=\left\|A_p - B_p - \frac{\varepsilon}{p+\varepsilon}A_p\right\|_2 \\ &\leq \left\|A_p - B_p\right\|_2 + \left\|\frac{\varepsilon}{p+\varepsilon}A_p\right\|_2 \\ &\leq \frac{1}{p} + \frac{|\varepsilon|}{p+\varepsilon}\left\|A_p\right\|_2 \\ &\leq \frac{1}{p} + \frac{1}{p-1}\lambda_{max} \\ &\leq \frac{1}{p} + \frac{2}{p}\lambda_{max} \\ &= \frac{1+2\lambda_{max}}{p}. \end{align}