Toda la función con una cantidad no numerable de ceros

Question

Supongamos que una función toda $f$ tiene una cantidad no numerable de ceros. Es cierto que $f=0$?

No tengo idea de cómo proceder con este. Tal vez algún teorema que yo no soy consciente de. He hecho un curso de licenciatura en análisis complejo.

Answer 1

Permite considerar la posibilidad de abrir balón $B_n$ a de centro cero y radio de $n$, un número natural, entonces $\mathbb{C}=\cup_{n\in N} B_n$. Ahora bien, si ninguno de $B_n$ contiene una cantidad no numerable de ceros complejos de $f$, los ceros de $f$ será contables, una contradicción. Así que supongamos $B_k$ para algún número natural $k$, contiene una cantidad no numerable de ceros complejos de $f$. Por lo tanto los ceros de $f$ tiene un almacén de innumerables subconjunto en $B_k$. Por Bolzano-Weirstrass teorema tiene punto límite. Ahora, por el teorema de Identidad en el complejo análisis de la $f$ es idéntica a cero.

Answer 2

Como Juan ya se señaló, un incontable subconjunto $A\subseteq\Bbb C$ ha necessarely un punto de acumulación. A continuación, el principio de identidad de holomorphic funciones, se dice que una función que es$0$$A$, es necessarely $0$ en todo su dominio (que es $\Bbb C$ si su función es todo).

Answer 3

Si hay una cantidad no numerable de ceros de $f(z)$ y supongamos $a$ (dicen) ser su punto límite, a continuación, $f(a+\frac 1n)=0$ donde $n\in \Bbb N$. Por el corolario de la Identidad teorema $f(z)$ es idéntica a cero en $\Bbb C$.