El nombre de este Mulltivariable Cálculo Teorema de

Question

En Robert Wald del libro teoría General de la Relatividad de un cálculo multivariable es el teorema citado en la página 16, que dice:

Si $F:\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}$$C^{\infty}$, a continuación, para cada una de las $a=(a^1,...,a^n) \in \mathbb{R}^n$ existe $C^{\infty}$ funciones $H_{\mu}$ tal que para todos los $x \in \mathbb{R}^n$ hemos

$$F(x)=F(a)+\sum_{\mu=1}^n (x^{\mu}-a^{\mu})H_{\mu}(x)$$

(1) ¿Cuál es el nombre de este teorema?

(2) ¿Dónde puedo encontrar una prueba?

Answer 1

El resultado es a veces llamado Flandes' lexema.

El punto destacable es que no necesita que $f$ es analítico, sino sólo que es $C^\infty$. Así que no se basa en la serie de Taylor como podría parecer a primera vista, ya que la serie puede no converger.

Funciona en cualquier abre en forma de estrella de barrio de puntos en $\mathbb R^n$. Un conjunto $A\subset \mathbb R^n$ dijo estar en forma de estrella con respecto a $p \in A$ si $q\in A$ el segmento de unirse a $p$ $q$ está completamente incluida en $A$. Por ejemplo, un conjunto convexo es en forma de estrella con respecto a cada punto perteneciente a ella.

Teorema. Deje $A\subset \mathbb R^n$ ser abierto y starshaped con respecto a $p\in A$. Considere la posibilidad de una $C^\infty$ función de $f: A \to \mathbb R$. Luego hay $n$ funciones $H_k=H_k(q)$ $H_k \in C^\infty(A)$ tal forma que:

$$f(q) = f(p) + \sum_{k=1}^n (q_k-p_k) H_k(q) \:,$$

y

$$H_k(p) = \left.\frac{\partial f}{\partial x_k}\right|_p\:.$$

PRUEBA. Mantenga $q\in A$ fijo y considerar la función suave $$[0,1]\ni t \mapsto g(t) := f(p+ t(q-p))\:.$$ Notice that $g(0)=f(p)$ and $g(1)=q$, de modo que podemos escribir, en vista de que el segundo teorema fundamental del cálculo: $$f(q)= f(p) + (f(q) - f(p)) = f(p) + \int_0^1 \frac{d}{dt} g(t) \:dt\:.$$ En otras palabras: $$f(q)=f(p) + \int_0^1 \frac{d}{dt} f(p+ t(q-p)) \:dt\:.$$ Aprovechamos el hecho de que $A$ es en forma de estrella en el cómputo de $f(p+ t(q-p))$$t\in [0,1]$, ya que el $[0,1] \ni t \mapsto p+ t(q-p)$ es sólo el segmento de unirse a $p$ $x$ y debe pertenecer al dominio de $A$$f$.

La derivada en la última integral se puede calcular como un derivado de un compuesto de la función, la obtención de:

$$f(q) = f(p) + \int_0^1 \sum_{k=1}^n (q_k-p_k) \left.\frac{\partial f}{\partial x^k}\right|_{x=p+ t(q-p)} \:dt\:.$$ En otras palabras: $$f(q) = f(p) + \sum_{k=1}^n (q_k-p_k) H_k(q) \:.$$ donde: $$H_k(q):=\int_0^1 \left.\frac{\partial f}{\partial x^k}\right|_{x=p+ t(q-p)} \:dt\:.$$ Siguiente se observa que el $n$ funciones $H_k= H_k(q)$ definido en $A$$C^\infty$, ya que el uso estándar de teoremas (Lebesgue del teorema de convergencia dominada y del teorema de Lagrange), como la función integrada conjuntamente suave en $(t,q)$ e las $t$ integración se realiza a través de un conjunto compacto $[0,1]$, podemos pasar el símbolo de $q$-los derivados de cualquier tipo y el orden bajo el símbolo de la integración.

Finalmente, sólo por la definición de $H_k$ uno encuentra inmediatamente:

$$H_k(p) = \left.\frac{\partial f}{\partial x_k}\right|_p\:.$$

QED

Como observación final me doy cuenta de que la prueba se aplica también si $f \in C^k(A)$$1\leq k <+\infty$. En este caso, las funciones de $H_k$ a $C^{k-1}$, pero la verificación de las propiedades restantes.

Answer 2

Voy a compartir un unidimensional ejemplo y ver si esto ayuda a arrojar alguna luz sobre el asunto.

Supongamos $f(x)$ es una analítica de la función (es decir, la serie de taylor de $f$ converge a $f$). Entonces podemos escribir,

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2 + \cdots $$

$$ = f(a) + (x-a) \left[ f'(a) + f''(a)(x-a)/2 + \cdots \right] $$

$$ = f(a) + (x-a) H(x) $$

Cuando por la inspección vemos que,

$$ H(x) \equiv f'(a) + f''(a)(x-a)/2 + \cdots $$

Answer 3

Permítanos estrella con el teorema fundamental del cálculo para $n=1$:

$F(x) - F(a) = \int_{a}^{x} F'(s)ds$

Ahora uso la sustitución de $s=t(x-a)+a$. Esto es debido a que $s$ escala el intervalo de $[a,x]$$[0,1]$. A continuación,$ds = dt(x-a)$, entonces tenemos:

$F(x) - F(a) = (x-a)\int_{0}^{1} F'(t(x-a)+a)dt$,

y esta pruebas $n =1$.

Ahora definir un vector

$y^{\mu} = t(x^{\mu} -a^{\mu})$

Luego, por la regla de la cadena:

$\frac{dF}{dt} = \sum_{\mu} \frac{\partial F}{\partial y^{\mu}} \frac{d y^{\mu}}{dt} = \sum_{\mu}F'(x^{\mu} -a^{\mu})$

y

$F(x) - F(a) = \int_{0}^{1}\frac{dF}{dt}dt = \int_{0}^{1} \sum_{\mu}F'(x^{\mu} -a^{\mu})dt = \sum_{\mu}(x^{\mu} -a^{\mu}) \int_{0}^{1}F'(t) = \sum_{\mu}(x^{\mu} -a^{\mu})H_{\mu}$

donde $H_{\mu} = \int_{0}^{1}F'(t)$

que da el resultado deseado

Answer 4

Es la expansión de Taylor alrededor de un punto de $a$ de una función multivariable donde $H_{\mu}$ es similar a la de la matriz Hessiana, pero para el fin de 1. Se puede encontrar en Cálculo Vectorial de Marsden, Tomba, o búscalo en google. Esta representación está escrito con la sumación de Einstein