Utilizando el Teorema de los Residuos para un contorno de la integral a lo largo de la esfera de Riemann

Question

Dada la integral de la $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^2+1}dx,$ podemos ver claramente que esta es la integral de una función impar con los límites que son simétricas respecto al origen, y, por tanto, su integral es cero.

Sin embargo, si me tratan como una curva a lo largo del eje real en la esfera de Riemann (ya que la función es cero en el infinito), entonces puedo considerar el interior de la curva a ser la mitad superior del plano complejo donde se tiene una única singularidad de la orden de $1$$i$. Por lo tanto, aplicando el teorema de los residuos, obtengo:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^2+1}dx = 2\pi i\lim_{x\rightarrow i}(x-i)\frac{x}{(x-i)(x+i)} = 2\pi i\frac{i}{2i} = \pi i\neq 0.$$

Claramente estoy haciendo algo mal, puede que alguien me explique mi idea falsa(s)?

Gracias

Answer 1

La integral es cero. El contorno cerrado integral debe ser igual a $i\pi$, pero la integral sobre el semi círculo no es cero. Set $x=r\text{e}^{i\theta}$, e $0\leq \theta \leq \pi$, e $r\rightarrow \infty$. A continuación,$dx = ir\text{e}^{i\theta} d\theta$, integrar sobre theta de 0 a $\pi$, y recuerden $\frac{1}{1+\Delta} = 1 -\Delta + \Delta^2 - \Delta^3...$ y usted encontrará que la integral sobre el arco es igual a $i\pi$. Dado que el total de la integral también debe igualdad de $i\pi$ el intgral a lo largo de la real eje x es cero para TODOS los IMPARES FUNCIONES. El infinito puede ser definido de manera diferente, pero usted debe hacer la integral para simétrica de los casos, en vez de rendirse, porque la pregunta no era enmarcado sin lugar a dudas.

Answer 2

No es cierto que la integral de -∞ a ∞ de la función impar es siempre 0.

La mitad superior de avión método no es aplicable en este asunto, porque la integral a lo largo del círculo con un radio de acercarse a infinito no es 0.

Así que básicamente ambos enfoques son incorrectos. Esta integral es el valor esperado de t(lamda)-distribución con lamda = 1, que no está definido.

Answer 3

Este es mi entendimiento.

A pesar de $\frac{x}{x^2+1}$ se porta bien en $x = \infty$, $dx$ no. Esto es debido a que $x$ sí no puede ser utilizado como un complejo de coordenadas en el barrio de $x = \infty$ de la esfera de Riemann.

Veamos la misma integral mediante una adecuada complejo coordinar $z = \frac{1}{x}$ no. Tenemos: $$\frac{xdx}{x^2+1} \to -\frac{dz}{z(z^2+1)}$$ Un $\frac{1}{z}$ singularidad se hace evidente en las nuevas coordenadas. Para utilizar correctamente la Integral de Cauchy teorema, no podemos completar el contorno directamente en $z = 0$. En su lugar, tenemos a un círculo alrededor de ella con un pequeño círculo de la mitad (clockwisely). El contorno integral recoger un factor de $\pi i = -(-\pi i)$ a partir de este pequeño círculo alrededor de la mitad de $z = 0$ de la $-\frac{1}{z}$ polo.

La traducción de esta vuelta a $x$ mundo, no podemos completar el contorno directamente en $x = \infty$. En su lugar, tenemos a un círculo a su alrededor con un gran círculo de la mitad (contador-closewisely w.r.t el origen). Dado que el integrando $\frac{x}{x^2+1}$ no vaya a $0$ lo suficientemente rápido, la integral de recoger un factor de $\pi i$ desde el gran círculo de la mitad.

Answer 4

Creo que la trampa es que $$\int_0^\infty \frac x{x^2+1}=+\infty$$ no convergen, y la simetría de la manipulación sólo los rendimientos $\infty-\infty$, entonces, que no está definido.