Anillo de poder formal de la serie finitely generado como el álgebra?

Question

Me preguntan si el anillo de poder formal de la serie es finitely generado como un $K$-álgebra. La intuición dice que no, pero no sé por dónde empezar. Cualquier sugerencia o sugerencia?

Answer 1

Deje $A$ ser no trivial de anillo conmutativo. A continuación, $A[[x]]$ no es finitely generado como un $A$-álgebra.

De hecho, se observa que la $A$ debe tener un ideal maximal $\mathfrak{m}$, por lo que tenemos un campo de $k = A / \mathfrak{m}$, y si $k[[x]]$ no es finitely generado como un $k$-álgebra, a continuación, $A[[x]]$ no puede ser finitely generado como un $A$-álgebra. Por lo que es suficiente para demostrar que $k[[x]]$ no es finitely generado. Ahora, es un asunto simple para demostrar que el polinomio anillo de $k[x_1, \ldots, x_n]$ tiene un countably infinito como $k$-espacio vectorial, por lo que cualquier finitely generado por $k$-álgebra debe tener un en la mayoría de los contables de base como un $k$-espacio vectorial.

Sin embargo, $k[[x]]$ tiene un sinnúmero de base como un $k$-espacio vectorial. Observar que $k[[x]]$ es, obviamente, isomorfo a $k^\mathbb{N}$, el espacio de todos los $\mathbb{N}$-indexada secuencias de elementos de $k$ $k$- espacios vectoriales. Pero es bien sabido que el $k^\mathbb{N}$ es de innumerables dimensión: ver aquí, por ejemplo.

Answer 2

Finitely generadas $k$-álgebras son Jacobson, por lo tanto finitely generado local $k$-álgebras son artinian, por lo tanto finitely generado local $k$-dominios son los campos. Bien, $k[[x]]$, no es un campo.