Límite de $\frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} + \cdots + \frac{n}{a^n}$

Question

¿Cuál es el límite de esta secuencia $\frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} + \cdots + \frac{n}{a^n}$ ?

Dónde $a$ es una constante y $n \to \infty$ .

Si se responde con pruebas, será lo mejor.

Answer 1

Con $S_n = \frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} + \frac{3}{a^3} + \cdots \frac{n}{a^n}$ y utilizando la forma cerrada de las sumas geométricas,

$$ \begin{align} \lim_{n \to \infty} S_n &= \frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} + \frac{3}{a^3} + \cdots \\ &= \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} + \cdots \\ & \phantom{=\frac{1}{a}} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} + \cdots \\ & \phantom{=\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}} + \frac{1}{a^3} + \cdots \\ & \phantom{=\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3}} \ddots \\ &= \frac{1}{a - 1} + \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a - 1} + \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{a - 1} + \cdots \\ &= \frac{1}{a - 1} \left( 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \cdots \right) \\ &= \frac{1}{a - 1} \cdot \frac{a}{a - 1} \\ &= \frac{a}{(a - 1)^2} \end{align} $$

Answer 2

Sea $f(x) = 1+x + x^2+x^3+ \cdots$ . Entonces el radio de convergencia de $f$ es $1$ y dentro de este disco tenemos $f(x) = \frac{1}{1-x}$ y $f'(x) = 1+2x+3x^2+\cdots = \frac{1}{(1-x)^2}$ .

Supongamos que $|x|<1$ entonces tenemos $xf'(x) = x+2x^2+3x^3+\cdots = \frac{x}{(1-x)^2}$ .

Si elegimos $|a| >1$ dejando que $x = \frac{1}{a}$ tenemos $\frac{1}{a} + \frac{2}{a^2}+ \frac{3}{a^3}+ \cdots = \frac{\frac{1}{a}}{(1-\frac{1}{a})^2}= \frac{a}{(a-1)^2}$ .

Answer 3

Pista:

$\frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} + \cdots + \frac{n}{a^n}$ = $(\frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \cdots + \frac{1}{a^n}) + (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} + \cdots + \frac{1}{a^n}) + ...$

Simplifica cada suma, factoriza los términos comunes y será más fácil de resolver. :)

Answer 4

El límite no existe si $|a|\le 1$ y lo hace si $|a|\gt 1$ . El hecho de que exista si $|a|\gt 1$ puede demostrarse mediante la prueba de la proporción.

Así que nos concentramos en el valor del límite, cuando exista.

Sea $S_n$ sea nuestra suma, y que $S$ sea su límite. Entonces $$aS_{n+1}-S_n=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2}+\cdots+\frac{1}{a^n}.$$ Sea $n\to\infty$ . El lado izquierdo se aproxima a $(a-1)S$ mientras que el lado derecho se aproxima a la suma de una serie geométrica infinita. Esa suma es $\frac{a}{a-1}$ . Así $S=\frac{a}{(a-1)^2}$ .