Afirmación no demostrable de ZF

Question

Estoy haciendo el siguiente ejercicio de Just/Weese:

Algunas reflexiones: Para demostrar que la afirmación no es demostrable a partir de $ZF$ Podría demostrar que implica el axioma de elección o Tychonoff o podría asumir que es demostrable a partir de $ZF$ y producir una contradicción. Como estoy dando una declaración que se sabe que no implica $AC$ y me dicen que lo use, lo haré. La idea es que si la segunda afirmación del ejercicio es demostrable desde $ZF$ entonces la primera afirmación implica el teorema de Tychonoff que es la contradicción deseada.

Prueba: Sea (*) "Para toda familia indexada de conjuntos no vacíos existe una familia de topologías compactas de Hausdorff" demostrable a partir de $ZF$ . Supongamos que (**) "El producto de familias compactas de Hausdorff es compacto". Sea $X_i$ sea una colección arbitraria de establece espacios compactos . Entonces por (*) podemos convertirlos en una familia compacta de Hausdorff y por (**) el producto es compacto. Por tanto, se cumple el teorema de Tychonoff, que equivale a $AC$ . Pero entonces (**) sería equivalente a $AC$ . $\Box$

Algunos pensamientos más: Dado un conjunto arbitrario siempre es posible dotarlo de una topología Hausdorff compacta: Primero se le aplica la topología discreta y luego se utiliza la compactación de un punto para convertirlo en un espacio compacto.

La razón por la que esto no se puede aplicar a una familia infinita de conjuntos es que para cada conjunto se necesita elegir una biyección entre el conjunto y la unión de conjuntos un punto. Y para ello se necesita $AC$ .

¿Puede decirme si lo tengo bien? Gracias.

Answer 1

La prueba de Branges de conjetura de Bieberbach era, si no recuerdo mal, de cien o doscientas páginas. (Y errónea, pero corregible.) Ahora hay una prueba de dos páginas.

EDIT: esas 2 páginas no son una prueba completa (¡ups!), sino que acortan la prueba de cuatro páginas de Weinstein.

Answer 2

En realidad no has derivado el teorema del producto de Tikhonov de $(*)$ y $(**)$ : tu argumento no demuestra que el producto arbitrario de espacios compactos sea compacto. Sin embargo, se puede derivar el propio AC. Sea $\{A_i:i\in I\}$ sea un conjunto no vacío de conjuntos no vacíos. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el $A_i$ son disjuntos por pares y disjuntos de $I$ . Para $i\in I$ dejar $X_i=A_i\cup\{i\}$ . Por $(*)$ hay topologías $\tau_i$ para $i\in I$ de manera que cada $\langle X_i,\tau_i\rangle$ es un espacio compacto de Hausdorff, y no hay inconveniente en suponer que $\{i\}\in\tau_i$ .

Por $(**)$ $X=\prod\{X_i:i\in I\}$ es un espacio compacto de Hausdorff. Para $i\in I$ dejar $\pi_i:X\to X_i$ sea el mapa de proyección, y sea $F_i=\pi_i^{-1}[A_i]$ ; $A_i$ está cerrado en $X_i$ y $\pi_i$ es continua, por lo que $F_i$ está cerrado en $X$ . Sea $\mathscr{F}=\{F_i:i\in I\}$ ; no es difícil comprobar que $\mathscr{F}$ es una familia centrada de conjuntos cerrados en $X$ . La clave es que si $J$ es un subconjunto finito de $I$ Sólo hay que elegir un $a_i\in A_i$ para cada $i\in J$ para definir un punto $x_J$ de $\bigcap\{F_i:i\in J\}$ ya que se puede establecer $\pi_i(x_J)=i$ para $i\in I\setminus J$ . Así, $\bigcap\mathscr{F}\ne\varnothing$ y cualquier punto de $\bigcap\mathscr{F}\ne\varnothing$ es una función de elección para $\{A_i:i\in I\}$ .

Answer 3

Reformulando el argumento de Brian en términos de la prueba (TY) $\rightarrow$ (AC) El ejercicio 34 precedente no hace daño:

Supongamos (*) y (**). Sea $A_i$ sea una familia arbitraria de conjuntos no vacíos. Podemos suponer que son disjuntos por pares. El objetivo es demostrar que existe una función de elección $f \in \prod_i A_i$ . Para ello, defina $X_i = A_i \cup \{i\}$ y utilizar (*) para dotar $X_i$ con topologías compactas de Hausdorff $\tilde{\tau_i}$ . Sea $\tau_i$ sea la topología generada por $\tilde{\tau_i}$ y $\{i\}$ . Entonces $\tau_i$ son compactas y de Hausdorff por lo que por (**) el producto $\prod_i X_i$ es compacto. Definir $U_i = \pi_i^{-1}(\{i\})$ . Entonces $U_i$ están abiertos. Si $U_i$ eran una cubierta abierta de $\prod_i X_i$ entonces habría una subcubierta finita $(U_j)_J$ . Definir $f$ para ser el mapa $j \mapsto a_j$ para algunos $a_j \in A_j$ y $i \mapsto i$ para $i \notin J$ . Entonces $f$ no está en $\bigcup_J U_j$ . Por lo tanto, $U_i$ no puede ser una tapadera de $\prod_i X_i$ . Por lo tanto, hay $g \in \prod_i X_i \setminus \bigcup_i U_i$ lo que significa que $g$ es una función de elección para $\prod_i A_i$ .