Una integral acerca de la función de Bessel

Question

¿Hay alguien que sepa la solución integral para la $$\int_0^\infty\frac{J^3_1(ax)J_0(bx)}{x^2} dx$$ donde $a>0,b>0$ $J(\cdot)$ la función de bessel de primera especie con el entero orden?

De referencia, o la solución de los programas de ordenador, todos son bienvenidos. Gracias!

Answer 1

La integral puede ser abordado mediante el uso de Mellin de convolución de la técnica. Primero vamos a comenzar con un simple caso de $a=b$. En este caso podemos calcular Mellin de transformación de $J_1(x)^2$$J_0(x) J_1(x)$: $$ \mathcal{M}_s( J_1(x)^2 ) = \int_0^\infty x^{s} J_1(x)^2 \frac{\mathrm{d} x}{x} = \frac{\Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{s}{2}\right) \Gamma \left(\frac{s}{2}+1\right)}{2 \sqrt{\pi } \Gamma \left(1-\frac{s}{2}\right) \Gamma \left(2-\frac{s}{2}\right)} \qquad \text{para} \qquad -2 < \mathrm{Re}(s) < 1 $$ y $$ \mathcal{M}_s( J_1(x) J_0(x) ) = \frac{\Gamma \left(1-\frac{s}{2}\right) \Gamma \left(\frac{s+1}{2}\right)}{2 \sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{3}{2}-\frac{s}{2}\right)^2} \qquad \text{para} \qquad -1 < \mathrm{Re}(s) < 2 $$ Ahora $$ \begin{eqnarray} \int_0^\infty x^{-2} J_1(a x)^3 J_0(a x) \mathrm{d} x &=& \frac{a}{2} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-1 - i \infty}^{-1 + i \infty} \frac{\Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{s}{2}\right) \Gamma \left(\frac{s}{2}+1\right) \Gamma \left(\frac{s}{2}+\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(-\frac{s}{2}\right)}{2 \pi \Gamma \left(1-\frac{s}{2}\right) \Gamma \left(2-\frac{s}{2}\right) \Gamma \left(\frac{s}{2}+2\right)^2} \mathrm{d} s \\ &=& \frac{a}{2 \pi i} \int_{-\frac{1}{2} - i \infty}^{-\frac{1}{2} + i \infty} \frac{\Gamma \left(\frac{1}{2}-s\right) \Gamma \left(s+1\right) \Gamma \left(s+\frac{3}{2}\right) \Gamma \left(-s\right)}{2 \pi \Gamma \left(1-s\right) \Gamma \left(2-s\right) \Gamma \left(s+2\right)^2} \mathrm{d} s \\ &=& \frac{a}{2 \pi} G_{4,4}^{2,2}\left(1\left| \begin{array}{c} \frac{1}{2},1,2,2 \\ 1,\frac{3}{2},0,-1 \\ \end{array} \right.\right) = \left( \frac{3 }{16} - \frac{1}{\pi^2} \right) \end{eqnarray} $$

Aquí $G_{4,4}^{2,2}(1)$ denota Meijer del G-función.

Ahora, cuando $a \not= b$, transformada de Mellin $J_1(a x) J_0(b x)$ ya no es más una relación de $\Gamma$-funciones: $$ \a la izquierda. \mathcal{M}_s( J_1( x) J_0(b, x)) \right\vert_{-1 < \mathrm{Re}(s) <2} = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{a 2^{s-1} b^{-s-1} \Gamma \left(\frac{s+1}{2}\right) \, _2F_1\left(\frac{s+1}{2},\frac{s+1}{2};2;\frac{a^2}{b^2}\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{2}-\frac{s}{2}\right)} & a < b \\ \frac{2^{s-1} a^{-s} \Gamma \left(\frac{s+1}{2}\right) \, _2F_1\left(\frac{s-1}{2},\frac{s+1}{2};1;\frac{b^2}{a^2}\right)}{\Gamma \left(\frac{3}{2}-\frac{s}{2}\right)} & a > b \end{array} \right. $$ Observe que la función hipergeométrica de Gauss $ {}_2F_1$ puede ser representada por la definición de suma, cuyos términos de cocientes de funciones Gamma sí mismos. Continuando de esta manera se producen suma la representación de la integral.

Las integrales de esta forma ha sido discutido por N. W. Bailey en 1936, ver enlace.

Answer 2

Para $a=b=1$ ... $$\int_0^\infty \frac{\mathrm{J}_1(x)^3 \mathrm{J}_0(x)}{x^2}\,dx = \frac{3}{16} - \frac{1}{\pi^2}$$ Voy a dejar los otros para el lector.