Clases de Chern de tautológica paquete sobre el Grassmannian G(2,4)

Question

Tengo el siguiente problema:

Sé cómo calcular las clases de Chern de la tautológica paquete sobre el Grassmannian $G=G(2,4)$ utilizando el Schubert de cálculo. Si estoy en lo cierto, el Chern carácter debe ser $$1-\sigma_1+\sigma_{1,1}$$ donde $\sigma_{i_1,i_2}$ indica el Schubert ciclo correspondiente a la variedad de Schubert $\Sigma_{i_1,i_2}=\{\Lambda\in G\mid\dim(V_{2-i_j+j}\cap\Lambda)\geq j\;\forall j\}$ (aquí se $\{V_j\}\subset V$ es un indicador en el 4-dimensional espacio vectorial $V$). Ahora estas clases son elemento en el anillo de Chow, pero quiero trabajar con clases en la integral cohomology grupo. ¿Cómo puedo hacer esta traducción?

Gracias!

Answer 1

El cohomology anillo de $G(k,n)$ es isomorfo a $$\frac{\mathbb{Z}[c_1(T),...,c_k(T),c_1(Q),..., c_{n−k} (Q)]}{(c(T)c(Q) = 1)},$$ donde $T$ $Q$ son, respectivamente, el tautológica y el cociente paquete. Las clases de chern de la tautológica y el cociente paquete se dan en términos de ciclos de Schubert por las siguientes fórmulas:

• $c_i(T) = (−1)^i\sigma_{1,...,1}$,
• $c_i(Q) = \sigma_i$.