Riemann integrable función

Question

Mostrar que $f(x)$ definido por $f(x)=\frac{1}{n}$ si $\frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n}, n=1,2,3,...$ $f(0)=0$ es Riemann integrable en $[0,1]$. También muestran que $$\int_0^1f(x) dx=\frac{\pi ^2}{6}-1$$

Sé que se puede utilizar $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} $ a solucionar esto. Pero no puedo conseguir la forma deseada.

Answer 1

$$ \begin{align} \int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x &=\sum_{k=1}^\infty\int_{\frac1{n+1}}^{\frac1n}f(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{n=1}^\infty\int_{\frac1{n+1}}^{\frac1n}\frac1n\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac1n\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}-\sum_{n=1}^\infty\frac1{n(n+1)}\\ &=\frac{\pi^2}{6}-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\\ &=\frac{\pi^2}{6}-1 \end{align} $$ Tenga en cuenta que cualquier sub-partición de $P=\left\{\left[\frac1{n+1},\frac1n\right]\right\}$ se obtiene la misma respuesta (desde $f$ es constante en cada intervalo). Para reducir esto a un número finito de partición, sólo tenemos que notar que en $\left[0,\frac1n\right]$, $|f(0)|\le\frac1n$. Por lo tanto, cualquier finito sub-partición de $P$ $\left[\frac1n,1\right]$ se obtiene la misma respuesta y es dentro de $\frac1{n^2}$ de todos los sub-partición de $P$ en un intervalo más amplio. Esto demuestra que $f$ es Riemann integrable.

Answer 2

Usted está preguntando acerca de la $$\int_0^1 \frac{1}{Floor(\frac{1}{x})}dx$$ Me encanta este problema. Vi esta primera cuando yo estaba tomando Calc I y ahora yo siempre doy a mis estudiantes. Aquí es un fragmentos de una detallada valoración crítica que tengo.

De hecho yo: La función de $f(x)=g(x)$ en el intervalo [0,1], donde \begin{eqnarray*} g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{n} & \textrm{ for }x \in \left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right] \textrm{ where } n \in \mathbb{N}\\ 0 & \textrm{ if } x=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Prueba: En $x=0,\,f(x)=g(x)$ obviamente.

Elija cualquiera de los $x\in(0,1]$ y deje $n\in \mathbb{N}$ ser el número tal que $x\in\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]$

$\Rightarrow \frac{1}{n+1}<x\leq\frac{1}{n}$

$\Rightarrow n+1>\frac{1}{x}\geq n$

$\Rightarrow Floor(1/x)=n$ por la definición de la función del suelo

$\Rightarrow \frac{1}{Floor(\frac{1}{x})}=1/n$

$\Rightarrow f(x)=g(x).$

Esto nos dice que en cada punto de $x$ donde $x$ es una unidad de fracción, nuestra función $f(x)$ tiene una discontinuidad de salto y en todas partes, $f(x)$ es una constante.

Ahora, para la primera parte de su problema, el número de discontinuidades de salto es contable, por lo tanto la función es Riemann integrable. Pero para una prueba formal de que el nivel que usted probablemente desea, usted tiene que utilizar la definición de Riemann integrable función. Debido a un arbitrario $\epsilon > 0$, usted tiene que encontrar una partición de $[0,1]$ tal que la diferencia entre la parte superior de la suma y la suma menor en esa partición de $f(x)$ es de menos de $\epsilon$.

Y, a continuación, para la última parte de su pregunta, el gráfico de la función, muy cuidadosamente, y luego encontrar el área bajo la curva debe ser muy obvio. Yo sugiero que usted haga esta parte con la mano. El uso de una calculadora, no le ayuda mucho. Después de conseguir que se inició voy a dejar a ambas partes.

Answer 3

Para probar la función es Riemann Integrable, es necesario comprobar que las dos condiciones

i) acotamiento,

ii) el conjunto de discontinuidad de la función contable o, más en general, por Lebesgue criterio de integrabilidad de Riemann, tiene medida cero.