Encontrar un determinado grupo en grupos de dos veces tan grande.

Question

Dado un grupo de $H$ con el fin de $n$, podemos determinar cuántos grupos de $G$ orden $2n$ contienen $H$ como un subgrupo, y tal vez encontrar a estos grupos? Por ejemplo, $\mathbb{Z}_4$ está contenida en $\mathbb{Z}_8$, $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$, $D_4$, y $Q_8$.

Tengo curiosidad por ver si podemos encontrar una constante límite superior (o límite superior relacionados con la $n$) en el número de grupos de $G$ que satisfacer mis limitaciones para cualquier $H$. No estoy muy familiarizado con la teoría de grupo, de modo que los métodos de abordaje de esto podría ser por encima de mi cabeza. Estoy particularmente interesado en el caso de que sólo se consideran cíclico $H$. Siéntase libre de generalizar! Gracias.

Answer 1

Subgrupos de índice $2$ son normales, por lo que, equivalentemente, que desea clasificar a corto exacta de las secuencias de

$$1 \to H \to G \to \mathbb{Z}_2 \to 1.$$

En otras palabras, se desea clasificar las extensiones de $\mathbb{Z}_2$$H$. Si $H$ ha extraña orden, a continuación, una breve secuencia exacta debe split (esto se generaliza a la Schur-Zassenhaus teorema, pero en este caso sólo podemos apelar a la del teorema de Cauchy), por lo $G$ debe ser un semidirect producto

$$G \cong H \rtimes \mathbb{Z}_2$$

y ahora es suficiente para clasificar a las acciones de $\mathbb{Z}_2$$H$. Si $H = \mathbb{Z}_n$ donde $n$ es impar, a continuación, escriba $n = \prod p_i^{e_i}$ cuando la $p_i$ son impares, números primos y $k$ primos aparecen. Entonces

$$H \cong \prod_i \mathbb{Z}_{p_i^{e_i}}$$

así que hay $2^k$ acciones de $\mathbb{Z}_2$$H$, dado actuando por $\pm 1$ en cada factor. Las correspondientes extensiones de tomar la forma

$$G \cong \mathbb{Z}_a \times D_b$$

donde $D_b$ es el diedro grupo$\mathbb{Z}_b \rtimes \mathbb{Z}_2$$ab = n$.

Si $H$ incluso ha pedido, a continuación, la respuesta es más complicada e implica grupo cohomology. Para dar una idea de lo complicado que la respuesta debe ser, cada finito $2$-grupo es un iterado extensión de copias de $\mathbb{Z}_2$. Hay más de 49 mil millones de grupos de orden $1024 = 2^{10}$, y que casi todos los grupos de orden menor que $2000$. Por el contrario, hay 10 millones de grupos de orden $512$. Esto significa que al menos un grupo de orden $512$ es un subgrupo de, al menos, $5000$ grupos de orden $1024$. En general, se sabe que el número de grupos de orden $2^n$ es asintóticamente

$$2^{\frac{2}{27} n^3 + O(n^{8/3})}$$

así que al menos un grupo de orden $2^n$ es un subgrupo de alrededor de $2^{\frac{2}{9} n^2}$ grupos de orden $2^{n+1}$; tenga en cuenta que este es más rápido que el polinomio de crecimiento en el orden.

Si $H = \mathbb{Z}_n$ donde $n$ puede ser, incluso, a continuación, esta es la forma en la clasificación comienza. En primer lugar, usted todavía necesita para clasificar todas las acciones de $\mathbb{Z}_2$$\mathbb{Z}_n$. Voy a dejar esto como un buen ejercicio para averiguar cómo manejar los poderes de $2$ dividiendo $n$. Segundo, la fijación de dicha acción, es necesario calcular el cohomology grupo

$$H^2(\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_n)$$

(que depende de la acción; por desgracia, este es suprimida por la notación). Hay una extensión para cada par de una acción y de una clase en este cohomology grupo. Si la clase se desvanece, a continuación, la extensión es un semidirect producto, pero en general no.