Subgrupos de índice $2$ son normales, por lo que, equivalentemente, que desea clasificar a corto exacta de las secuencias de
$$1 \to H \to G \to \mathbb{Z}_2 \to 1.$$
En otras palabras, se desea clasificar las extensiones de $\mathbb{Z}_2$$H$. Si $H$ ha extraña orden, a continuación, una breve secuencia exacta debe split (esto se generaliza a la Schur-Zassenhaus teorema, pero en este caso sólo podemos apelar a la del teorema de Cauchy), por lo $G$ debe ser un semidirect producto
$$G \cong H \rtimes \mathbb{Z}_2$$
y ahora es suficiente para clasificar a las acciones de $\mathbb{Z}_2$$H$. Si $H = \mathbb{Z}_n$ donde $n$ es impar, a continuación, escriba $n = \prod p_i^{e_i}$ cuando la $p_i$ son impares, números primos y $k$ primos aparecen. Entonces
$$H \cong \prod_i \mathbb{Z}_{p_i^{e_i}}$$
así que hay $2^k$ acciones de $\mathbb{Z}_2$$H$, dado actuando por $\pm 1$ en cada factor. Las correspondientes extensiones de tomar la forma
$$G \cong \mathbb{Z}_a \times D_b$$
donde $D_b$ es el diedro grupo$\mathbb{Z}_b \rtimes \mathbb{Z}_2$$ab = n$.
Si $H$ incluso ha pedido, a continuación, la respuesta es más complicada e implica grupo cohomology. Para dar una idea de lo complicado que la respuesta debe ser, cada finito $2$-grupo es un iterado extensión de copias de $\mathbb{Z}_2$. Hay más de 49 mil millones de grupos de orden $1024 = 2^{10}$, y que casi todos los grupos de orden menor que $2000$. Por el contrario, hay 10 millones de grupos de orden $512$. Esto significa que al menos un grupo de orden $512$ es un subgrupo de, al menos, $5000$ grupos de orden $1024$. En general, se sabe que el número de grupos de orden $2^n$ es asintóticamente
$$2^{\frac{2}{27} n^3 + O(n^{8/3})}$$
así que al menos un grupo de orden $2^n$ es un subgrupo de alrededor de $2^{\frac{2}{9} n^2}$ grupos de orden $2^{n+1}$; tenga en cuenta que este es más rápido que el polinomio de crecimiento en el orden.
Si $H = \mathbb{Z}_n$ donde $n$ puede ser, incluso, a continuación, esta es la forma en la clasificación comienza. En primer lugar, usted todavía necesita para clasificar todas las acciones de $\mathbb{Z}_2$$\mathbb{Z}_n$. Voy a dejar esto como un buen ejercicio para averiguar cómo manejar los poderes de $2$ dividiendo $n$. Segundo, la fijación de dicha acción, es necesario calcular el cohomology grupo
$$H^2(\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_n)$$
(que depende de la acción; por desgracia, este es suprimida por la notación). Hay una extensión para cada par de una acción y de una clase en este cohomology grupo. Si la clase se desvanece, a continuación, la extensión es un semidirect producto, pero en general no.
