Recogida del Teorema en un triangular (o hexadecimal) de la cuadrícula

Question

Recogida del teorema dice que, dado un cuadrado de la cuadrícula que consta de todos los puntos en el plano con coordenadas enteras, y un polígono sin agujeros y no selt-intersección cuyos vértices son los puntos de cuadrícula, su área está dada por:

$$i + \frac{b}{2} - 1$$

donde $i$ es el número del interior de celosía puntos y $b$ es el número de puntos en su límite. Y teorema de las pruebas se pueden encontrar en la Wikipedia.

Supongamos que la red no es cuadrada, pero triangular (o hexagonal). Hace un teorema similar?

Answer 1

La respuesta corta es que, no, no puede ser ninguna fórmula para polígonos con los vértices de la red hexagonal en cuanto a límites y los puntos del interior. Esto se basa en el hecho de que la primitiva triángulos en este entramado--sin celosía puntos en su límite (además de los vértices) o en el interior-puede tener diferentes áreas, mientras que para la plaza de celosía de todas las primitivas de triángulos tienen área $\frac{1}{2}$.

Sin embargo, como Casebash, en parte, ha conseguido en su respuesta, usted puede aproximar bien las cosas si calcular lo que, en el siguiente documento, es llamado el "límite" característico del polígono, un número que es algo complicado pensar en calcular, pero que da un decente proxy cuántos de cada tipo de primitiva triángulo polígono que contiene.

Kolodziejczyk ha sido la principal haciendo un trabajo en red hexagonal resultados de este tipo, que yo sepa; que vale la pena mirar hacia arriba para obtener resultados similares. Ding Ren es otro, y el mayor trabajo de Grunbaum, etc., aún lleva en el problema.

"Una Recogida Rápida-Tipo de Aproximación para el Área de H-Polígonos," Ren, Kolodziejczyk, et al., American Mathematical Monthly, 1993.

Answer 2

Encontrar el área del polígono en la malla triangular en la forma habitual mediante la selección de la fórmula, pero si se multiplica por $\sqrt{3}$ y dividir por 2. Esto funciona porque cada cuadrado puede ser asignado a un paralelogramo compuesto de dos triángulos equiláteros, y el área del paralelogramo es $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Answer 3

Esta es una pregunta muy interesante. No tengo una solución completa, pero me hizo obtener algunos resultados. Considere la posibilidad de una distribución arbitraria de puntos. Deje que $P(i,b)=i+\frac{b}{2}-1$ donde $i$ es el número de puntos internos y $P$ es el número de puntos de límite. Deje que $P(a)=P(i_A,b_A)$, donde $A$ es un simple polígono con todos sus vértices en los puntos. Wikipedia muestra que $P(C)=P(a)+P(T)$ donde $T$ es un triángulo que las acciones de un solo filo con $A$ y $C$ un simple polígono formado por la unión de $A$ y $T$. Dado que todos los polígonos simples pueden triangularse, $P(C)=la suma de P(t)$ para todo $t$ en la triangulación de los $C$.

La prueba tiene una segunda parte que muestra $P(t)$ es igual al área de cualquier triángulo. Así que si queremos generalizar para otras redes, tenemos que encontrar una propiedad igual a $P(T)$ para cualquier triángulo.

Answer 4

(Para un entero l y un entramado polígono P) denota por λP polígono P extendía por λ veces. A continuación, el número N(λP) de los puntos dentro del polígono λ es un polinomio cuadrático en λ con los principales coeficiente de S(P). Este es el formulario de Recogida del teorema que tiene para cualquier red (y obvio analógica funciona en cualquier dimensión — a diferencia de la habitual selección de la fórmula que no tiene análogo en 3d, incluso para la red cúbica).

Para la plaza de celosía que los rendimientos ordinarios del teorema de Pick, ya que para un paralelogramo P en la plaza de celosía $N(\lambda P)\approx\lambda^2(i+\frac{b}{2}-1)S(P)$ como λ→∞ y general del teorema se sigue del teorema de paralelogramos por aditividad.

Answer 5

Puede descargar una versión de documento de Word llamado Elegir Una Forma, en http://www.1000problems.org/ afirma que si las unidades se miden en triángulos en lugar de cuadrados, la fórmula es a=2i+b-1