Algunas preguntas sobre el pseudoinverse de una matriz

Question

Para cada mxn-matriz con entradas real, no existe un único nxm-matriz B, también con el real de las entradas, de tal manera que

$$ABA = A$$ $$BAB = B$$ $$AB = (AB)^T$$ $$BA = (BA)^T$$

B es la pseudoinverse de A. También hay un complejo versión, pero yo sólo estoy interesado en el real. Ahora mis preguntas :

• Si tiene Una racional entradas, debe B también han racional entradas ?
• ¿Cómo puedo calcular el pseudoinverse de una matriz con PARI/GP ?
• Hay un método sencillo para calcular la pseudoinverse a mano para pequeñas matrices ?
• Bajo qué condiciones son las entradas de la pseudoinverse enteros ?

Sé que algunas propiedades especiales, por ejemplo, que para invertible plaza las matrices A, el pseudoinverse simplemente es $A^{-1}$ , o que la pseudoinverse de cero de la matriz es de su transposición, pero no tengo mucha experiencia con general pseudoinverses.

Answer 1

Para tu primera pregunta, por elemental de fila y columna de las operaciones, cada matriz $A$ sobre los racionales se pueden escribir como una matriz producto de la forma $PDQ$ donde $P$ $Q$ son producto de matrices elementales con rational entradas y $D$ es de planta rectangular de la diagonal de la matriz sobre los racionales. De ello se desprende que $A^+ = Q^{-1}D^+P^{-1}$ y básicamente se está preguntando si $D^+$ es racional. La respuesta debe ser trivial.

Para su tercera pregunta, si $A$ es en la mayoría de las $3\times3$, usted puede intentar la fórmula $$ A^+ = \lim_{\delta \searrow 0} (A^\top A + \delta I)^{-1} A^\la parte superior = \lim_{\delta \searrow 0}^\la parte superior (a^\top + \delta I)^{-1}. $$

Para la última pregunta, no estoy seguro de si hay cualquier agradable y en general las condiciones suficientes.