Convergencia de la integral browniana

Question

Dejemos que $B$ sea un movimiento browniano. Estoy tratando de demostrar que

$$\left(\int_0^te^{B_s}ds\right)^\frac{1}{\sqrt{t}}$$

convergencias en la distribución como $t \to \infty$ . Como pista, se nos dice que consideremos el límite como $p\to\infty$ de

$$\left(\int_0^1|f(x)|^pdx\right)^\frac{1}{p}$$

Puedo demostrar que este es el supremum esencial de $|f|$ por un argumento de emparedado, pero tengo problemas para relacionar la pista con la pregunta.

Como enfoque alternativo, mostré que las leyes eran estrictas utilizando Teorema de Prokhorov pero no sé cómo dar el paso de la estrechez a la convergencia.

Gracias.

Answer 1

Supongo que la indicación es imitar el argumento del sándwich, partiendo de algo así como que la variable aleatoria $X_t$ que le interesa es tal que $$ A_t^{1/\sqrt{t}}\mathrm e^{(M_t-1)/\sqrt{t}}\le X_t\le t^{1/\sqrt{t}}\mathrm e^{M_t/\sqrt{t}}, $$ donde $M_t=\max\{B_s\mid 0\le s\le t\}$ y $A_t=\displaystyle\int\limits_0^t[B_s\ge M_t-1]\mathrm d s$ .

En el RHS, $t^{1/\sqrt{t}}\to1$ y $M_t/\sqrt{t}$ es igual a $M_1$ en la distribución.

En el LHS, $(M_t-1)/\sqrt{t}$ converge a $M_1$ en la distribución. Si $\log A_t=o(\sqrt{t})$ casi con toda seguridad (hecho que debería derivarse de los teoremas de descomposición de Williams y/o de un teorema de Ray-Knight para el tiempo local de $B$ ), se ve que $X_t$ converge en su distribución a $\mathrm e^{M_1}$ .

Answer 2

Esto es esencialmente un argumento del "Método de Laplace" que permite concluir que :

$\left(\int_0^te^{B_s}ds\right)^\frac{1}{\sqrt{t}}$ converge en derecho a $exp(S_1)=e^{\sup_{s\leq 1}\textit{B}_s}$ .

Tiene las siguientes igualdades (a veces sólo en la ley):

$$(\int_0^te^{B_s}ds)^\frac{1}{\sqrt{t}}= (t\int_{0}^{1}e^{\sqrt{t}\textit{B}_s}ds)^\frac{1}{\sqrt{t}}=t^\frac{1}{\sqrt{t}}.||e^{\textit{B}_.}||_{L^\sqrt{t}[0,1]} $$

El método de Laplace permite concluir que $\lim_{t\to \infty}||e^{\textit{B}_.}||_{L^\sqrt{t}[0,1]}=||e^{\textit{B}_.}||_{L^\infty[0,1]}=e^{\sup_{s\leq 1}\textit{B}_s}$

Lo único que se necesita para aplicar el Método de Laplace es que la función sea $L^{\infty}$ lo que es cierto para a.s. para las trayectorias de $e^{\textit{B}_.}$ en el intervalo $[0,1]$

Saludos

Editar la prueba del método de Laplace : Tomemos un positivo $f\in L_\mu^{\infty}(X)$ , entonces primero tenemos para cualquier $p>1$ :
$\|f\|_{L^p}\leq \|f\|_{L^{\infty}}\cdot (\mu(X))^{1/p}$ (aquí $\mu(X)=1$ pero esto funciona también para medidas finitas)

Lo que da la mitad del resultado.

En segundo lugar, vamos a arreglar $\epsilon>0$ , y nota $A_\epsilon=\{x \in X s.t.|f(x)|\geq \|f\|_{L^{\infty}}-\epsilon\}$ y tal que $\mu(A_{\epsilon})>0$ (existe un $\epsilon$ y para todos los valores inferiores a este valor, el conjunto correspondiente tiene medida no nula, esto se puede ver por absurdo)

Entonces tenemos:

$\int_{X}{|f(s)|}^p d\mu(s)=\int_{A_{\epsilon}}{|f(s)|}^p d\mu(s)+\int_{A_{\epsilon}^c}{|f(s)|}^p d\mu(s) \geq (\|f\|_{L^{\infty}}-\epsilon)^p \cdot \mu(A_{\epsilon}) $

Tomando la raíz p-ésima obtenemos :
$(\|f\|_{L^{\infty}} - \epsilon)\cdot (\mu(A_{\epsilon}))^{1/p} \leq \|f\|_{L^p}$

Dejar $p$ que va a $\infty$ (nota que $\epsilon$ sigue siendo fija) obtenemos :

$$ \lim_{p \rightarrow +\infty}(\|f\|_{L^{\infty}} - \epsilon)\cdot (\mu(A_{\epsilon}))^{1/p} = \|f\|_{L^{\infty}} - \epsilon \leq \lim_{p \rightarrow +\infty} \|f\|_{L^p} (*)$$

Como esto es cierto para cualquier $\epsilon>0$ obtenemos el resultado deseado.

$(*)1\ge\mu(A_{\epsilon})>0$