Mostrar que esta integral converge,

Question

Mostrar que

$$\int_1^{\infty}\int_1^{\infty}\cdots\int_1^{\infty} \frac{{\rm d}x_1\cdots {\rm d}x_n}{x_1^{\alpha_1} + \ldots + x_n^{\alpha_n}} < \infty$$

si $\frac{1}{\alpha_1} + \ldots + \frac{1}{\alpha_n} < 1 $

Supongo que, para hacer uso de la desigualdad de la hipótesis dada en el enunciado del problema, que debo mirar para hacer un cambio de variables.

Todas las ideas son bienvenidas. Gracias!

Answer 1

Empezar con un cambio de variables

$$y_i = x_i^{\frac{\alpha_i}{2}}\implies {\rm d}x_i = \frac{2{\rm d}y_i}{\alpha_i y_i^{1- \frac{2}{\alpha_i}}}$$

para obtener la integral

$$\frac{2^{n}}{\alpha_1\cdots \alpha_n}\int_0^1\cdots \int_0^1 \frac{1}{y_1^2 + \ldots + y_n^2}\prod_{i=1}^n\frac{{\rm d}y_i}{y_i^{1- \frac{2}{\alpha_i}}}$$

La integral anterior es delimitada por la integral de la misma integrando sobre el esféricamente simétrica de la región de $r^2 \equiv y_1^2 + \ldots + y_n^2 \geq 1$ (ya que el integrando es totalmente positiva y contiene $[1,\infty)^n$) así que vamos a centrarnos en esta integral como este hace que la integración de los límites de la simple cuando el cambio a coordenadas esféricas.

Dado que sólo estamos interesados en el establecimiento de convergencia vamos a cambiar a coordenadas esféricas $\{r,\theta_1,\ldots,\theta_{n-1}\}$ y sólo se centran en el radial ($r$) integral ya que es la única posible fuente de divergencia desde el integrando no tiene sigularities en la integración de la región.

Las correspondientes fórmulas de transformación de coordenadas esféricas se pueden encontrar en esta respuesta:

$$\prod_{i=1}^n {\rm d}y_i = r^{n-1} {\rm d}r\prod_{i=1}^{n-1}\sin^{n-1-i}(\theta_i){\rm d}\theta_i$$

$$\prod_{i=1}^n y_i^{1-\frac{2}{\alpha_i}} = r^{n - \sum_{i=1}^n\frac{2}{\alpha_i}}\prod_{i=1}^{n-1}\cos^{1-\frac{2}{\alpha_i}}(\theta_i)\sin^{n-i-\sum_{j=i+1}^n\frac{2}{\alpha_i}}(\theta_i)$$

De esto se sigue que la radial integral se convierte en

$$\int_1^\infty \frac{1}{r^2}\cdot r^{n-1}\cdot \frac{1}{r^{n-\sum_{i=1}^n\frac{2}{\alpha_i}}}{\rm d}r = \int_1^\infty \frac{{\rm d}r}{r^{3-2\sum_{i=1}^n\frac{1}{\alpha_i}}}$$

que converge si $3-2\sum_{i=1}^n\frac{1}{\alpha_i} > 1 \implies \sum_{i=1}^n\frac{1}{\alpha_i} < 1$.

Answer 2

En primer lugar demostrar que para cualquier $\alpha > 1$ existe $C(\alpha) > 0$ tal que $$\int_1^\infty \frac{dx}{a + x^\alpha} \leq C(\alpha) a^{\frac1{\alpha}-1},$$ para cualquier $a >1$. En efecto, mediante un cambio de variable $x = a^{\frac1\alpha} t$, tenemos $$\int_1^\infty \frac{dx}{a + x^\alpha} = a^{\frac1\alpha -1}\int_{a^{-\frac1\alpha}}^\infty \frac{dt}{1 + t^{\alpha}} \leq a^{\frac1\alpha -1}\int_{0}^\infty \frac{dt}{1 + t^{\alpha}},$$ por lo tanto podemos tomar $C(\alpha) = \int_{0}^\infty \frac{dt}{1 + t^{\alpha}}.$

Desde $x_i \geq 1$$i =1,\ldots,n$, entonces tenemos $$\int_1^\infty \frac{d x_n}{x_1^{\alpha_1} + x_2^{\alpha_2}+\ldots +x_n^{\alpha_n}} \leq C(\alpha_n) (x_1^{\alpha_1} +\ldots +x_{n-1}^{\alpha_{n-1}})^{\frac{1-\alpha_n}{\alpha_n}}.$$ Denotar $\beta_i = \alpha_i (\alpha_n -1)/\alpha_n$, $\beta_i > 0$ y $$\frac1{\beta_1} + \ldots + \frac1{\beta_{n-1}} < 1.$$ Es fácil ver que $$(x_1^{\alpha_1} +\ldots +x_{n-1}^{\alpha_{n-1}})^{\frac{\alpha_n-1}{\alpha_n}}\geq \frac1{n-1} (x_1^{\beta_1} + \ldots (x_{n-1}^{\alpha_{n-1}}).$$ Por lo tanto $$\int_1^\infty\cdots\int_1^\infty \frac{dx_1\ldots dx_n}{x_1^{\alpha_1} + x_2^{\alpha_2}+\ldots +x_n^{\alpha_n}}\leq C(\alpha_n)(n-1)\int_1^\infty\cdots\int_1^\infty \frac{dx_1\ldots dx_{n-1}}{x_1^{\beta_1} + \ldots +x_{n-1}^{\beta_{n-1}}}.$$

La repetición de los argumentos anteriores, vemos que esta integral converge.