Cómo interpretar el significado de " $y$ resuelve el DE" para tener buenas propiedades.

Question

Supongamos que

• $I$ es un intervalo abierto

• $0 \in I$

• $x$ varía en $I$

• $y$ es una función diferenciable de $x$ .

Ahora, en el contexto de estos supuestos, considere el siguiente problema.

$$x\dfrac{dy}{dx}=y$$

Para solucionarlo, probablemente la forma más fácil es mediante una separación de variables. Así, el primer paso sería reescribir la ecuación en la forma de:

$$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}$$

Por lo tanto, sería útil que la solución general de este nuevo problema coincidiera precisamente con la solución general del antiguo problema.

Sin embargo, según las definiciones que siempre me han enseñado, la solución general del nuevo problema es el conjunto vacío. Es decir, no tiene soluciones. Eso es porque requerimos que nuestras soluciones $y : I \rightarrow \mathbb{R}$ sean funciones totales que satisfagan la DE para todo $x \in I$ . Pero como $0 \in I$ y dado que el nuevo problema implica elevar $x$ a una potencia negativa, ninguna función total $y : I \rightarrow \mathbb{R}$ lo resuelve.

Así, según las definiciones que me han enseñado, la solución general del nuevo problema no coincide con la solución general del antiguo.

Pregunta . ¿Cuáles son los principales enfoques para generalizar la noción de "solución" de una ED de manera que las dos ecuaciones descritas anteriormente tengan precisamente la misma solución general? Y, ¿dónde puedo aprender más sobre estos enfoques?

Answer 1

Los argumentos rigurosos de separación de variables utilizan la existencia y unicidad local, que se aplica a los sistemas en forma de campo vectorial, $w'=F(w)$ para $w$ en un subconjunto abierto de $R^n$ . En este caso, $w = (y,x)$ , el EUS da soluciones de la forma $w(t)=(y(t),x(t))$ y el llamado $dy/dx$ en las ecuaciones es algo que existe como consecuencia del teorema de la función inversa aplicado a la solución local existente y única en vecindades pequeñas.

Por lo tanto, para iniciar el proceso (de forma rigurosa), los problemas 1 y 2 deben reescribirse como " $dy/dx = (\cdots)$ " que cuando se combina con $x' = 1$ (y la regla de la cadena) se convierte en la ecuación de $dw/dt$ y lógicamente es una consecuencia de la misma. Pero esta reescritura borraría la diferencia entre las ecuaciones, ya que ambas son $dy/dx = y/x$ . Así que no veo que haya una pregunta que responder si el argumento de la separación se expone cuidadosamente.

Answer 2

Una respuesta rápida en dos partes: primero, la familia de soluciones generales es $\{Ax+By=0 \ | \ (A,B)\in\mathbf{R}^2\}$ . No importa cómo "correctamente/incorrectamente" se encuentran estos, son perfectamente soluciones finas según cualquier definición que se le ocurra e incluso en $x=0$ . En segundo lugar, puedes reescribir tu EDO como un sistema de primer orden, por ejemplo éste: $$ \dot{x} = x \quad\mbox{and}\quad \dot{y} = y . $$ (Esencialmente, se parametriza cada curva por alguna variable arbitraria $t$ en lugar de por $x$ o por $y$ .) Esto se resuelve trivialmente utilizando el factor integrador ${\rm e}^{-t}\ne0$ (en ambos casos), & se obtiene $x=x_0 {\rm e}^{-t}$ y $y=y_0 {\rm e}^{-t}$ . Claramente, se puede reescribir esto como $y_0 x - x_0 y = 0$ que es de la misma forma que la que he dado anteriormente. No hay divisiones por cero.

Ahora, la propaganda. En pocas palabras, su DE deja de ser un DE en $x=0$ : en ese punto, sólo se lee $0=y$ . (Y, he aquí, todo soluciones se convierten en realidad en cero en $x=0$ de hecho, $y=0$ es equivalente a $x=0$ para todas las soluciones con $(A,B)\ne(0,0)$ .) Lo que describes, pues, está muy relacionado con este hecho. Cualquier (otro) método que se me ocurra para resolver la ED no eliminará este problema. ¿Factor de integración? Bueno, eso es $1/x$ Así que ahí está. ¿Coordenadas polares? Buena decisión, porque esto produce la ecuación trivial a resolver. $\dot{\theta}=0$ pero las coordenadas polares ellos mismos sufrir en el origen. Creo que voy a parar aquí.