La ampliación de la ergodic el teorema de no-equilibrio de los sistemas

Question

Yo trate de hacer esto lo más breve y conciso posible. Para el equilibrio de los sistemas en la mecánica estadística, tenemos la Liouville del teorema que dice que el volumen en el espacio de fase se conserva cuando el sistema evoluciona en el tiempo. Así, formalmente, se podría reformular esta como: tiempo de evolución de equilibrio/sistemas estacionarios es una medida invariante de la transformación (donde la medida aquí es el volumen en el espacio de fase).

Ahora para sistemas estacionarios, tenemos una función de densidad de $f(\mathbf{q},\mathbf{p})$ que cumple con el teorema de Liouville, mediante la cual podemos escribir un promedio del conjunto de algunas espacio de fase de la función de $A$ como sigue: $$ \langle \rangle = \int f(\mathbf{q},\mathbf{p}) (\mathbf{q},\mathbf{p}) d\mathbf{q} d\mathbf{p} \etiqueta{1} $$ Del mismo modo el tiempo promedio de la misma función $A$ está definido por: $$ \langle \rangle_{hora} = \lim_{t\to \infty} \frac{1}{t}\int_0^t A(t)dt \etiqueta{2} $$ La más importante, físicamente pertinente, la declaración de la ergodic teorema es que (1) y (2) son iguales, es decir, el promedio del conjunto y el tiempo promedio de espacio de fase de las funciones son las mismas. Esto lleva a una importante interpretación en relación al tiempo de evolución de un ergodic sistema, que es que todas las regiones de la parte accesible del espacio de fase (es decir, coherente con el sistema de energía) son visitados por el sistema, independientemente de la condición inicial en $t=0$, y que el sistema consume una cantidad de tiempo igual en todos ellos. Esto también intuitivamente explica por qué los promedios de (1) y (2) debe ser igual.

Desde un punto de vista matemático, sabemos que el tiempo promedio (2) converge para todas las trayectorias adoptadas por el sistema, desde que empezamos con el equilibrio de la asunción, la cual nos permite tratar la evolución en el tiempo como una medida de preservación de la transformación. La pregunta es, ¿cómo es el ergodic teorema generalizado también cuenta para sistemas fuera del equilibrio, es decir, sistemas con disipador, dinámica y con fuentes/sumideros de partículas?

Para una cosa que ya no tiene el volumen de la preservación de la transformación, por lo tanto el teorema de Liouville es violado y el espacio de fase de volumen ya no es incompresible bajo tiempo de transformaciones. Por lo tanto la evaluación de la convergencia de (1) y (2) se convierte en no-trivial. Ciertamente, los retos matemáticos a un lado, estoy más interesado en el aspecto físico de la generalización de la ergodic theory. ¿Este concepto se extienden incluso a los no-equilibrio? Si sí, ¿cómo se interpreta?

Answer 1

Sistemas fuera del equilibrio son más a menudo se considera en la aproximación local, donde el equilibrio es válido, produciendo un hidrodinámica o elasticidad de la descripción. Local de equilibrio significa que el equilibrio se supone que en una escala más grande en comparación con la escala microscópica, pero pequeña en comparación con la escala donde se hacen observaciones. En este caso, se considera una partición del sistema macroscópico en las células de esta escala intermedia y se supone que cada una de estas celdas está en equilibrio, pero con la posibilidad de diferentes valores de las variables termodinámicas.

Desde un punto de vista macroscópico, estas células son todavía infinitesimalmente pequeño, en el sentido de que un continuo límite puede considerarse que ignora la naturaleza discreta de las células, sin introducir demasiado error. Por lo tanto, las variables termodinámicas que varía la forma de una célula a convertirse en campos, manejable con las técnicas de continuidad mecánica.

Por otro lado, a partir de un microscópico punto de vista, estas células ya están infinitamente grande - en el sentido de que el ideal límite termodinámico, que, estrictamente hablando, requiere un volumen infinito, ya tienen suficiente aproximación. (Los errores en escala masiva con $N^{-1/2}$ $N$ de las partículas, que es pequeña, ya para macroscópicamente muy pequeñas células.) Por lo tanto se puede aplicar a todos los argumentos de la mecánica estadística a las células.

En la medida en que uno cree que un ergodic argumento se aplica a la celda, se va a justificar (subjetivamente) la mecánica estadística aproximación. Sin embargo, la ergodic argumento teóricamente es compatible sólo en algunas situaciones, y debe ser considerado más como una pedagógico de la ayuda de la intuición, más que como una herramienta válida para la obtención de resultados.

Answer 2

Hay muy pocas confusiones conceptuales en esta pregunta.

Un sistema es abierto o cerrado. Un sistema no es "equilibrio" o "no-equilibrio". También, un sistema es conservador o disipativo. El ergodic teorema no se aplica a los sistemas abiertos, ni a los disipadores de los sistemas, ya que tienden a tienden a un punto fijo o algo así.

Un estado de un sistema puede ser un estado de equilibrio, o no, dependiendo de si es invariante con el paso del tiempo. Un sistema tiene dos conceptos de "estado": el uno relevantes para la mecánica estadística es una macrostate, lo que significa que no es un punto en el espacio de fase, pero una distribución de probabilidad sobre el espacio de fase. Generalmente la energía es fijo. Si Liouville medida eran una distribución de probabilidad, que no lo es, sería un equlibrium estado, ya que es invariante bajo el paso del tiempo. Si una cantidad fija de energía de la superficie finita de volumen, que generalmente lo hace, entonces si uno restringe Liouville medida a la superficie, se obtiene un estado de equilibrio. Esto puede ser hecho por cualquier cerrada Hamiltionian conservador del sistema. Esto no tiene nada que ver con ergodicity.

El ergodic teorema no se aplica a todo sistema dinámico, sin embargo, estas observaciones se hacen. Un sistema dinámico podría tener estados de equilibrio si el sistema es ergodic.

Muy pocos de los sistemas dinámicos son conocidos por ser ergodic. Incluso si un sistema es ergodic, es una falacia que significa que los caminos casi siempre entrar en cada región. Ese es el concepto de "mezcla", que es aún más difícil de probar, y más rara. Ergodic, sólo significa que el tiempo de los promedios son casi siempre igual a la fase de promedios, nada más ni menos. Y esto tiene que ser cierto para los estados de no equilibrio, así que no tiene nada que ver con el equilibrio.

La cuestión de los sistemas abiertos no pueden utilizar el teorema de Liouville, ya que es falsa para abrir o disipadores de sistemas. Y así es la ergodic teorema.

Curiosamente, si un sistema está compuesto de un número muy grande de componentes similares que interactúan algo débilmente, uno puede demostrar que algunos de los promedios de tiempo aproximadamente igual a su fase de promedios aunque el ergodic teorema no es aplicable a ese sistema. (Khinchin, los Fundamentos Matemáticos de La Mecánica Estadística.)

Una buena referencia, un poco viejo, pero fácil de entender, para los no-equilibrio de la mecánica estadística, es el libro por de Groot y Mazur, recientemente reeditado por Dover. Estudia las fluctuaciones cerca de equilibrio, lo cual puede estar relacionado con la cantidad de disipación presentes en el sistema.