¿Cuál es el doble de una operación binaria?

Question

Tengo una operación binaria: $ \diamond : M\times M \M $ . Quiero dualize la operación binaria moviendo la flecha, me da: $$ f : M \M\times M $$ Ahora, podemos definir una coassociativity ley como: $$ ((f \circ fst \circ f)(m), (snd \circ f)(m)) = ((fst \circ f)(m) (f \circ snd \circ f)(m)) $$

donde $fst$ extrae el primer elemento de la tupla, y $snd$ el segundo. Intuitivamente, esto coassociativity implica que la única cosa que usted necesita saber acerca de $f$ es el número de veces que se ha aplicado.

Asumo que estas dos construcciones se han estudiado antes, aunque sospecho que no han sido llamados duales. ¿Qué es esta llamada, y dónde puedo encontrar más información? También, este parece muy diferente de la estándar de construcción de comonoids para mí, pero podría ser en realidad la misma cosa?

Answer 1

Dualizing una operación binaria $c \times c \to c$ donde $c$ es un objeto en alguna categoría $C$, obtiene un mapa de $c \to c \sqcup c$ donde $c$ está siendo considerada como un objeto en el frente de la categoría de $C^{op}$; en particular, el producto en $C$ dualizes a la subproducto en $C^{op}$. De manera más general, se puede definir comonoids con respecto a cualquier estructura monoidal en una categoría y, a continuación, la declaración es que dualizing un monoid en $C$ con respecto a la cartesiano monoidal estructura (producto) que recibe un comonoid en $C^{op}$ con respecto a la cocartesian (?) monoidal estructura.

Coalgebras en el habitual sentido algebraico son comonoids con respecto al tensor de producto de, por ejemplo, $\text{Vect}$.

Como Zhen Lin menciona en los comentarios, algo muy curioso que sucede con el concepto cartesiano de monoidal estructura: cada objeto en una categoría con productos finite es un comonoid con respecto a la cartesiano monoidal estructura de una manera única! La única comultiplication está dada por la diagonal mapa de $\Delta : c \to c \times c$; ver este post en el blog para más detalles. (Doblemente, cada objeto en una categoría con finito de co-productos es un monoid con respecto a la cocartesian monoidal estructura de una manera única.)