Puede curvas cerradas tienen una pequeña curvatura?

Question

Deje $\gamma$ ser una curva suave en el espacio Euclidiano de longitud $2\pi$ cuya curvatura de la función satisface $-1 < k(t) < 1$. Puede $\gamma$ ser cerrado?

Este parece que debería ser un ejercicio fácil, al menos en el plano, pero estoy atascado...

Answer 1

Si la curva fue cerrado, el de Gauss-Bonnet fórmula para curvas se aplican, es decir, $\int_0^{2\pi} k(t) dt= ±2\pi$ (donde la curva parametrizada por longitud de arco), pero por la desigualdad de $|k(t)|<1$ obtenemos $\int_0^{2\pi} k(t) dt<\int_0^{2\pi}1dt = 2\pi$$\int_0^{2\pi} k(t) dt> -2\pi$.

editar : es posible que necesitemos agregar la hipótesis de que la curva es simple para que este método funcione, así que esto podría no ser una buena solución.

edit 2 : yo creo que si la curva no es simple, a continuación, $\int_0^{2\pi} k(t) dt= 2k\pi$ donde k es la liquidación número de la curva, que se podría solucionar esta solución. Ver este enlace

Answer 2

Tomar el punto medio y se supone que la unidad de vector tangente en ese punto es mirar en la dirección de la $x$-eje. Ahora estimar el $x$-proyección de la unidad de vector tangente a la distancia a la $t$ desde el punto medio. Es mayor que $\cos t$ debido a que el ángulo de rotación es menor que $t$ debido a la curvatura de la restricción. Pero $\int_{-\pi}^\pi\cos t\,dt=0$, por lo que terminar a la derecha de donde empezó. Esto funciona en todas las dimensiones.

Answer 3

do Carmo de la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies menciona Fenchel del teorema en la página 399:

El total de la curvatura de una curva cerrada simple es, al menos, $2\pi$

(más algo acerca de cuando se sostiene la igualdad; esto declaraciones difiere de la página de wikipedia para Fenchel del teorema.)

En su caso, usted tiene que el total de la curvatura de la $\int |k(s)| ds$$< 2\pi$. Por lo que la curva no puede ser cerrado (si es que es simple).

Hay una generalización a trozos regulares curvas cerradas en $\mathbb R^n$, conocido como el Fenchel-teorema de Borsuk, aunque no puedo encontrar una referencia a la mano ahora mismo.