Lo canónica momenta son el "derecho"?

Question

Estoy haciendo algunos clásicos de la teoría de campo de ejercicios con el Lagrangiano $$\mathscr{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$$ donde $F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$. Para encontrar el conjugado momenta $\pi^\mu_{\ \ \ \nu} = \partial \mathscr{L} / \partial(\partial_\mu A^\nu)$, puedo usar dos métodos.

Primer método: aplicar directamente esta a $\mathscr{L}$. Obtenemos un factor de $2$ ya que hay dos $F$'s, y otro factor de $2$ desde cada una de las $F$ contiene dos $\partial_\mu A_\nu$ términos, dando $$\pi^\mu_{\ \ \ \nu} = -F^\mu_{\ \ \ \nu}.$$

Segundo método: get $\mathscr{L}$ en términos de $A$ ampliando e integrando por partes, dando $$\mathscr{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2 - \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\nu)^2.$$ La diferenciación de este obtiene los factores de $2$ y da $$\pi^\mu_{\ \ \ \nu} = \partial_\rho A^\rho \delta^\mu_\nu - \partial^\mu A_\nu.$$

Estas dos respuestas son diferentes! (Se dan las mismas ecuaciones de movimiento, al menos.) Supongo que eso significa hacer la integración por partes cambiado la canónica momenta.

Es esto algo que debería estar preocupado? En particular, tengo otro ejercicio que me quiere mostrar que uno de los canónica momenta se desvanece -- esto no es cierto para los que llego desde el segundo método! Además, mi tensión-energía tensor es cambiado demasiado. Cuando un problema pide "la" canónica momenta, estoy prohibido de la integración por partes?

Answer 1

1. OP es de ponderar si la correspondiente formulación Hamiltoniana se ve afectada si la densidad Lagrangiana $$\tag{1} {\cal L}~\longrightarrow~\tilde{\cal L}~:=~ {\cal L}+\sum_{\mu=0}^3d_{\mu}F^{\mu}$$ is modified with a total divergence$^1$ term $d_{\mu}F^{\mu}$, so that the definition of canonical momentum$^2$ $$\tag{2} p_i~:=~ \frac{\delta L}{\delta v^i}-\frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta \dot{v}^i}+\ldots, \qquad L~:=~\int\! d^3x~{\cal L}, $$ se modifica así? Esa es una buena pregunta.

2. Algunas notas técnicas: (i) la razón de La funcional (en lugar de parcial) derivados de eq. (2) es debido a la presencia de las direcciones espaciales en el campo de la teoría (como opuesto a punto de la mecánica), cf. por ejemplo, este Phys.SE post. (ii) Los puntos suspensivos $\ldots$ en eq. (2) denota la posible dependencia de mayor tiempo de derivados en el Lagrangiano $L[q,v,\dot{v},\ddot{v},\dddot{v},\ldots;t]$. (Suponemos implícitamente que todas las dependencia de la $\dot{q},\ddot{q},\ldots,$ ha sido reemplazado con $v,\dot{v},\ldots,$ en el Lagrangiano.) Aunque estamos aquí sólo interesado en la física normal caso donde el de Euler-Lagrange las ecuaciones contienen en la mayoría de los dos derivados, todavía podría ser mayor tiempo de derivados dentro de una total divergencia plazo en la acción. Mayor tiempo de derivados no son sólo un ejercicio puramente académico. E. g. la de Einstein-Hilbert (EH) de acción contiene mayor tiempo de derivados, cf. por ejemplo, este Phys.SE post. Un breve retorno a mayor tiempo de derivados en la Sección 7. (iii) el Cambio en la acción, con una total divergencia plazo puede afectar a la elección de la constante de las condiciones de contorno. E. g. la EH acción es modificada con un Gibbons–Hawking–York (GHY) límite de plazo por razones de coherencia.

3. OP no está preguntando acerca de la formulación de Lagrange, y ya se sabe que el de Euler-Lagrange las ecuaciones no se cambian, cf. e.g esta Phys.SE post. Vamos nosotros a partir de ahora se centran en la transformación de Legendre y la formulación Hamiltoniana.

4. La transformación (1) se compone de dos tipos de transformaciones: (i) un cambio por un total espaciales derivados $$\tag{3} {\cal L}~\longrightarrow~\tilde{\cal L}~:=~ {\cal L} +\sum_{k=1}^3d_kF^k, $$ que no cambie el impulso de la definición (2); y (ii) un cambio por un tiempo total derivado$^1$ $$ \etiqueta{4}L~\longrightarrow~\tilde{L}~:=~L+\frac{\partial G}{\partial t}+ \int\! d^3x\left[\frac{\delta G}{\delta q^i} v^i + \frac{\delta G}{\delta v^i} \dot{v}^i+\ldots \right] ~\aprox~L+\frac{dG}{dt}. $$ Vamos a por simplicidad sólo considerar el último de transformación (4) a partir de ahora.

5. Supongamos por simplicidad considerar el punto de la mecánica. (El campo teórico de la generalización es sencillo.) Eq. (2) y (4) se convierte en $$\tag{5} p_i~:=~ \frac{\partial L}{\partial v^i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{v}^i}+\ldots, $$ $$ \etiqueta{6}L~\longrightarrow~\tilde{L}~:=~L+\frac{\partial G}{\partial t}+ \frac{\partial G}{\partial q^i} v^i + \frac{\partial G}{\partial v^i} \dot{v}^i+\ldots ~\aprox~L+\frac{dG}{dt}, $$ respectivamente. La canónica de impulso (5) cambios como $$ \etiqueta{7} P_i~=~p_i+\frac{\partial G}{\partial q^i} +\frac{\partial^2 G}{\partial v^i\parcial p^j} (v^j-\dot{p}^j) ~\aprox~p_i+\frac{\partial G}{\partial q^i} . $$ [El $\approx$ símbolo significa la igualdad modulo ecuaciones de movimiento o $v^i\approx\dot{q}^i$.]

6. En primer lugar vamos a suponer que la transformación de Legendre $v\leftrightarrow p$ es regular. Si $G$ no depende de la velocidad de los campos de $v^i$ y mayor tiempo de derivados de la transformación (6), este es el Ejercicio 8.2 (Ejercicio 8.19) en Goldstein, de la Mecánica Clásica, 3ª edición (2ª edición), respectivamente. Uno puede usar un tipo de 2 canónica de la transformación $$ \etiqueta{8}p_i\dot{p}^i-H ~=~ -\dot{P}_iQ^i-K + \frac{dF_2}{dt},$$ $$ \tag{9} \qquad F_2~:=~P_i q^i-G, $$ donde $$\tag{10} Q^i~:=~q^i, \qquad P_i~:=~p_i+\frac{\partial G}{\partial q^i}, \qquad K~:=~H-\frac{\partial G}{\partial t}.$$ Un Hamiltoniano principio de acción basado en la lhs. o rhs. de eq. (8) se ha las ecuaciones de Hamilton $$ \tag{11} \dot{q}^i~\approx~ \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad -\dot{p}_i~\approx~ \frac{\partial H}{\partial q^i}, $$ y el Kamilton las ecuaciones de $$ \tag{12} \dot{Q}^i~\approx~ \frac{\partial K}{\partial P_i}, \qquad -\dot{P}_i~\approx~ \frac{\partial K}{\partial Q^i}, $$ como punto fijo, respectivamente. Por lo tanto nca. (11) y (12) son equivalentes en virtud de la transformación (6).

7. Si $G$ depende de la velocidad de los campos de $v^i$, aparecen más tiempo de derivados dentro del tiempo total-término derivado $\frac{dG}{dt}$, cf. eq. (6). Otras complicaciones (en escribir una equivalencia de prueba). E. g. la relación para el próximo Ostrogradsky impulso $$ \tag{13} P^{(2)}_i~:=~ \frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{v}^i}+\ldots~=~\frac{\partial G}{\partial v^i}+\ldots, $$ normalmente puede no ser invertida para eliminar la aceleración de $\dot{v}^j$. En otras palabras, la transformación de Legendre es singular.

8. En caso de singular transformaciones de Legendre, es menos clara, pero se cree, que la modificación de la formulación Hamiltoniana (resultante de la Dirac-Bergmann restringida de análisis) todavía es equivalente.

9. OP caso (E&M) ha limitaciones (de Gauss la ley), pero en ese caso, es fácil comprobar explícitamente la equivalencia.

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$^1$ Nota esta sutileza.

Answer 2

Dos diferentes Lagrangians dar diferentes canónica impulso.

Si dos diferentes Lagrangians se diferencian por una superficie de plazo a continuación, se diferencian por un total de divergencia. Y que por lo tanto el rendimiento de las mismas acciones, por lo tanto tienen las mismas ecuaciones de movimiento.

Al hacer la integración por partes producir una superficie de plazo (la diferencia entre los dos). Imaginar la resta de las dos funciones (de Lagrange son funciones de allí variables independientes no los campos con valores fijos) que vaya de integración por partes. Se diferencian por una superficie de plazo. Ahora la imagen de aquellos como una tensión y, a continuación, encontrar el campo eléctrico que no tiene ningún cargo en el interior. Que es una divergencia free vector de campo cuyo flujo en la superficie es lo que quería.

O simplemente tomar los dos Lagrangians y restar. En general se puede conseguir algo que es sólo una superficie de plazo así es la divergencia de algo.

Como para el que es derecho canónico impulso es sólo canónica. No es, por ejemplo, una fuente en un campo físico de la ecuación, simplemente es lo que es, lo que es menos que tal vez la gente quiere decir que es. Usted no puede medir canónica impulso.

Es sólo la canónica impulso asociado con un determinado Lagrange. Y Lagrangians que se diferencian por un total de divergencia dan las mismas ecuaciones de movimiento pero diferentes canónica impulso.