¿La elección de una función de conteo requiere el Axioma de Elección?

Question

Dicen que a uno se le pide demostrar algo acerca de set $X$, y parte de las condiciones dadas es que $X$ es contable. La prueba se inicia con

"Vamos a $f: X \mapsto \Bbb{N}$ ser una función de conteo de $X$..."

y la prueba de proceder a la utilización de $f$ a demostrar que el que iba a ser probado.

Ahora si $X$ eran finitos, se podría empezar con "Let $f: X \mapsto \{ 1, 2, \ldots |X|\}$," esto requiere el axioma de finito elección y todo el mundo está bien con eso.

Si yo tenía que lidiar con una colección de conjuntos contables $X_i : i\in I$ donde $I$ es infinito, a continuación, comenzando con "$\forall i \in I$ deje $f_i: X_i \mapsto \Bbb{N} $ ser una función de conteo de $X_i$ y ..." entonces me he basado en el Axioma de Elección.

Aquí, sin embargo, tengo que elegir sólo una función de conteo, pero en general (no saber nada acerca de $X$ que es contable) la elección de que la función de conteo parece requerir un número infinito de opciones.

Mi pregunta es, tiene una prueba supone el Axioma de Elección, o no.

Para algunos couintable establece, por ejemplo, los racionales, es posible a través de algoritmos especificar la función de conteo, por lo que para este tipo de series esta cuestión no se plantea. Pero tal vez no son contables conjuntos para la cual no se puede especificar a través de algoritmos especificar la función de conteo, en cuyo caso mi pregunta se aplica. Si no hay ningún tipo de conjuntos, que es en sí misma un interesante teorema.

Answer 1

No, no es necesario el axioma de elección. El punto es que $X$ es contable si se tiene una función de conteo. Sólo está haciendo una elección que usted está eligiendo un elemento de $\{$a contar de las funciones de $X\}$, lo que usted sabe (por hipótesis) a no puede ser vacío.

Answer 2

No, usted está equivocado. Si $X$ es finito, el hecho de que no es una enumeración de $X$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ no es debido a que el axioma de elección para finito de conjuntos de ser un teorema. Es por la definición de la finitud.

Del mismo modo, la definición de $X$ ser una contables conjunto, significa que hay una inyección de $X$ a $\Bbb N$. El uso de instanciación existencial se obtiene una enumeración de función $f\colon X\to\Bbb N$.