Prueba Simple de la de Cauchy-Crofton fórmula en la esfera?

Question

Deje $\gamma$ ser un habitual de la curva sobre la esfera. En una conferencia, el siguiente resultado era utilizado

$$L(\gamma)=\frac 14 \int_{S^2} \sharp (\gamma \cap \xi ^\perp)d\xi$$

$\xi^\perp$ es el plano con normal $\xi$, al pasar por el origen. $\sharp(\gamma\cap \xi^\perp)$ es el número de puntos en la intersección de la curva de $\gamma$ y el avión $\xi^\perp$.

Estamos diciendo que podemos obtener la longitud de $\gamma$ mediante la integración de la función de $\xi\mapsto \sharp(\gamma\cap \xi^\perp)$ que cuenta las intersecciones de $\gamma$ con el movimiento de los aviones. Por la simetría de esta función es par, lo que significa que cuenta cada punto dos veces, y puedo ver por qué no debe ser un factor de $\frac 12$. No estoy seguro acerca de la $\frac 14$.

Estoy teniendo un tiempo difícil encontrar una prueba de este resultado. ¿Qué es un método simple de probarlo?

Answer 1

Consideremos, en primer lugar un gran círculo. Cada plano cumplen exactamente 2 puntos, y el resultado de la siguiente manera. Para un pequeño arco de longitud $2\pi \over q$, el resultado de la siguiente manera porque usted necesita $q$ estos arcos para cubrir el círculo. La aditividad dará el resultado para los arcos de longitud ${p\over q}\times 2\pi$, y por la continuidad, por cada arco de círculo. Ahora, el resultado sigue escribiendo una suma de Riemann de la rhs como el Crofton fórmula para un roto geodésico de la aproximación de la curva : vamos a $\alpha$ ser fijo. Tenga en cuenta que para una suficientemente pequeño arco de una $C^1$ curva entre dos puntos de $a,b$, el número de intersección con un determinado círculo es el mismo (0 o 1) como su intersección con la línea geodésica $[a,b]$ si el ángulo con la dirección de la $\vec { ab}$$>\alpha$. Ahora, el área total de la parte de la esfera de vectores que hacen un ángulo de $\leq \alpha$ con una dirección dada es $C\alpha$. Si la curva es agradable, se puede calcular la RHS de Crofton fórmula, el número de $\sharp (\gamma \cup \xi ^\perp)$ es acotado, y el resultado de la siguiente manera.