Densidad del conjunto $\{f: \int_0^1 x^\alpha f''(x) dx = \int_0^1 x^\beta f''(x) dx = 0 \}$ $C[0,1]$

Question

Deje $\alpha, \beta \in (-1,1) \setminus \{ 0 \}$. Es cierto que el conjunto de $$ \left\{f \C^2[0,1]: \int_0^1 x^\alpha f"(x) dx = \int_0^1 x^\beta f"(x) dx = 0 \right\} $$ es denso en $C[0,1]$? Creo que no, pero no tienen idea de cómo demostrarlo. En el caso de $\alpha, \beta \geq 1$ es bastante fácil, ya que podemos utilizar la integración por partes dos veces y volver a escribir la condición sin derivados, pero no sé qué hacer si $\alpha, \beta < 1$.

Answer 1

Su conjunto parece ser, en efecto, densa en $\mathcal C([0,1])$. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $\alpha\neq \beta$.

Necesitamos el siguiente hecho:

$\mathbf{Fact.}$ Dado un conjunto compacto $K\subset\mathbb R^2$, hay una constante $C$ de manera tal que el siguiente se tiene: para cualquier $(p,q)\in K$$A>1$, uno puede encontrar una función $\Phi\in \mathcal C^2([0,A])$ tal que $\int_0^{A} \Phi''(t)t^\alpha dt=p$, $\int_0^{A}\Phi''(t)t^\beta dt=q$ y $\Vert\Phi\Vert_\infty\leq C$.

Suponiendo que se ha demostrado que este, vamos a mostrar que su conjunto ( $\mathcal A$ ) es denso en $\mathcal C([0,1])$.

Algo así como el teorema de Weierstrass, es suficiente para aproximar cualquier $\mathcal C^2$ función; así que vamos a arreglar $f\in\mathcal C^2([0,1])$$\varepsilon \in (0,1)$.

Poner $L_\alpha(f)=\int_0^1 f''(x)x^\alpha dx$$L_\beta(f)= \int_0^1 f''(x)x^\beta dx$. Elija $\gamma >0$ tal que $\gamma(1-\alpha)>1$ $\gamma(1-\beta)>1$ Por el hecho de aplicar con $K=\{ (p,q);\; \vert p\vert\leq \vert L_\alpha(f)\vert\;{\rm and}\; \vert q\vert\leq \vert L_\beta(f)\vert \}$, uno puede encontrar una función $\Phi\in\mathcal C^2([0,{\varepsilon^{-\gamma}}])$ tal que $\int_0^{{\varepsilon^{-\gamma}}} \Phi''(t)t^\alpha dt=\varepsilon^{\gamma(1-\alpha)-1}L_\alpha(f)$, $\int_0^{{\varepsilon^{-\gamma}}}\Phi''(t)t^\beta dt=\varepsilon^{\gamma(1-\beta)-1}L_\beta(f)$ y $\Vert\Phi\Vert_\infty\leq C$ donde $C$ no depende de $\varepsilon$. Ahora defina $g$$[0,1]$$g(x)=f(x)-\varepsilon\, \Phi({\varepsilon^{-\gamma}}x)$. A continuación,$g\in\mathcal C^2([0,1])$$\Vert g-f\Vert_\infty\leq C\varepsilon$. Por otra parte, \begin{eqnarray*}\int_0^1 g''(x)x^\alpha\, dx&=&L_\alpha(f)-\varepsilon^{1-2\gamma}\int_0^1\Phi''({\varepsilon^{-\gamma}}x)x^\alpha dx\\ &=&L_\alpha(f)- \varepsilon^{1-\gamma+\gamma\alpha}\int_0^{\varepsilon^{-\gamma}}\Phi(t) t^\alpha\, dt\\&=&0\, , \end{eqnarray*} y de la misma manera $\int_0^1 g(x)x^\beta dx=0$. Por lo $g\in\mathcal A$, y desde $C$ no depende de $\varepsilon$, esto muestra que $\mathcal A$ es denso en $\mathcal C([0,1])$.

Para demostrar el hecho, en primer lugar tenga en cuenta que dado $p,q\in\mathbb R$, se puede encontrar una función cuadrática $\psi(x)=ax^2+bx+c$ tal que $\int_0^{1} \psi(x)x^\alpha dx=p$, $\int_0^{1}\psi(x)x^\beta dx=q$, $\psi(1)=0$ y $\vert a\vert+\vert b\vert+\vert c\vert\leq M (\vert p\vert+\vert q\vert)$ donde $M$ es una constante que depende sólo de $(\alpha,\beta)$. De hecho, esto equivale a resolver el sistema lineal $$\left\{ \begin{matrix}\frac{1}{\alpha+3}& a&+&\frac{1}{\alpha +2}& b&+&\frac{1}{\alpha +1}& c&=&p\\ \frac{1}{\beta+3}& a&+&\frac{1}{\beta +2}& b&+&\frac{1}{\beta +1}& c&=&q\\ &a&+&&b&+&&c&=0 \end{de la matriz} \right. $$ cuya matriz depende sólo de $(\alpha,\beta)$ y resulta ser invertible (me estoy saltando alguna fila manipulaciones aquí).

De ello se deduce que para cualquier $(p,q)\in\mathbb R^2$ y cualquier $A>1$, uno puede encontrar una función $\varphi\in\mathcal C([0,A])$ tal que $\int_0^A \varphi(t) t^\alpha dt=p$, $\int_0^A\varphi(t) t^\beta dx=q$, $\varphi\equiv 0$ on $[1,A]$ and $\Vert\varphi\Vert_\infty\leq M(\vert p\vert+\vert q\vert)$ for some constant $M$ which does not depend on $(p,q)$: just define $\varphi$ to be equal to the above quadratic function $\psi$ on $[0,1]$ and $\varphi\equiv 0$ on $[1,A]$.

Ahora, vamos a $K$ ser cualquier subconjunto compacto de $\mathbb R^2$ y deje $A>1$. Para cualquier $(p,q)\in K$, definir $\Phi:[0,A]\to \mathbb R$ $\Phi(t)=\int_1^t\int_1^s \varphi (u) du$ donde $\varphi$ es como el anterior. A continuación,$\Phi\equiv 0$$[1,A]$, lo $\Vert\Phi\Vert_\infty\leq C$ para algunas constantes $C$ dependiendo sólo de la $K$; y $\Phi$ que hace el trabajo.