demostrar que: hay infnitely muchos positivos entero $n$ tales $$ \lfloor \sqrt{7}\cdot n \rfloor=k^2+1(k\in \Bbb{Z})$$
Creo que el uso de la ecuación de pell para resolverlo. Pero no puedo.
Respuesta
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marty cohen
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Tengo que hay un número infinito de $n$ tal que $\lfloor n\sqrt{d} \rfloor =k^2-1 $, no $k^2+1$.
Sin embargo, para $d$ tal que hay soluciones para $x^2-dy^2 = -3$, como $d=7$, luego hay $n$ tal que $\lfloor n \sqrt{d} \rfloor = k^2+1 $.
Esto se generaliza a $k^2 \pm j$ dependiendo de la existencia de soluciones a $x^2-dy^2 = \pm m$ para diferentes $m$.
Aquí vamos.
Como el OP dijo, la ecuación de Pell entra en ella.
Empezamos con el hecho de que hay un infinito número entero de soluciones a $x^2-dy^2 = 1$, donde $d$ es la plaza libre.
Para cada uno de estos,
$1 =x^2-dy^2 =(x-y\sqrt{d})(x+y\sqrt{d}) $ así $(x-y\sqrt{d}) =\dfrac1{x+y\sqrt{d}} $ o, cuadrado, $x^2-2xy\sqrt{d}+dy^2 =\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2} $ o $2xy\sqrt{d} =x^2+dy^2-\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2} =x^2+(x^2-1)-\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2} =2x^2-1-\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2} $ o $xy\sqrt{d} =x^2-\frac12(1+\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2}) $.
Desde $0 < \dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2}) < \frac12$,
$\frac12 < \frac12(1+\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2}) < 1 $ así $\lfloor xy\sqrt{d} \rfloor =\lfloor x^2-\frac12(1+\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2}) \rfloor = x^2-\lfloor\frac12(1+\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2}) \rfloor = x^2-1 $.
Esto no es lo que se le pide.
Sin embargo, si hay una solución a $x^2-dy^2 = -1$, luego hay un número infinito de soluciones.
La modificación de este cálculo tenemos
$x^2-2xy\sqrt{d}+dy^2 =\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2} $ o $2xy\sqrt{d} =x^2+dy^2-\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2} =x^2+(x^2+1)-\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2} =2x^2+1-\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2} $ o $xy\sqrt{d} =x^2+\frac12(1-\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2}) $ $\lfloor xy\sqrt{d} \rfloor =\lfloor x^2+\frac12(1-\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2}) \rfloor = x^2+\lfloor\frac12(1-\dfrac1{(x+y\sqrt{d})^2}) \rfloor = x^2 $.
Sin embargo, no hay soluciones a $x^2-7y^2 = -1$, así que esto no se sostiene.
Sin embargo, supongamos que hay un número infinito de soluciones a $x^2-dy^2 = -m$.
La modificación de este cálculo tenemos
$-m =x^2-dy^2 =(x-y\sqrt{d})(x+y\sqrt{d}) $ o $x-y\sqrt{d} =\dfrac {m}{x+y\sqrt{d}} $.
Cuadrado, $x^2-2xy\sqrt{d}+dy^2 =\dfrac{m^2}{(x+y\sqrt{d})^2} $ o $2xy\sqrt{d} =x^2+dy^2-\dfrac{m^2}{(x+y\sqrt{d})^2} =x^2+(x^2+m)-\dfrac{m^2}{(x+y\sqrt{d})^2} =2x^2+m-\dfrac{m^2}{(x+y\sqrt{d})^2} $ o $xy\sqrt{d} =x^2+\frac12(m-\dfrac{m^2}{(x+y\sqrt{d})^2}) $ así $\lfloor xy\sqrt{d} \rfloor =\lfloor x^2+\frac12(m-\dfrac{m^2}{(x+y\sqrt{d})^2}) \rfloor = x^2+\lfloor\frac12(m-\dfrac{m^2}{(x+y\sqrt{d})^2}) \rfloor $.
Si $m$ es impar, $m = 2j+1$, entonces $\lfloor xy\sqrt{d} \rfloor = x^2+\lfloor\frac12(2j+1-\dfrac{m^2}{(x+y\sqrt{d})^2}) \rfloor =x^2+j $ una vez $x+y\sqrt{d} > m $.
Ya hay soluciones para $x^2-7y^2 = -3$ (por ejemplo, $5^2-7\cdot 2^2 = -3$) hay un número infinito de soluciones, así OP de la instrucción es verdadera.
